EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE EQUAÇÃO DO 2º GRAU 01

Nesse grupo de exercícios vamos resolver as questões sobre coeficientes das equações do 2º grau.

01. Na a equação do 2º grau 3x² – 2x + 1 = 0, determine a soma de seus coeficientes.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

02. Determine a soma dos quadrados dos coeficientes da equação -x² – 3 = 0.
A) 4
B) 8
C) 9
D) 10
E) 16

03. Calcule o valor da expressão – 4ac sabendo que a e c são coeficientes da equação 5x² – 4x – 3 = 0.
A) 48
B) 60
C) 80
D) 100
E) 240

04. Sabendo que a, b e c são os coeficientes da equação x² – x – 1 = 0, determine o valor da expressão b² - 4ac
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

05. Sendo a e b coeficientes da equação 4x² + 9 = 12x, calcule o valor da expressão – b/a.
A) 3
B) – 9/4
C) 9/4
D) – 4/3
E) 4/3

06. O IFCe em 2003-1, na época CEFET-Ce, propôs a seguinte questão em seu processo seletivo: "O produto de um número inteiro positivo pela sua quarta parte é igual a 100. Calcule esse número." Ao expressar este problema em linguagem matemática nos deparamos nos deparamos com uma equação do 2º grau da qual, depois de devidamente padronizada, podemos garantir sobre seus coeficientes: A) a = 0
B) b = 0
C) c = 0
D) a = c = 0
E) b = c = 0

07. p(x) = x² – 50x + A = 0 , onde A ∈ ℜ. Para que o polinômio P(x) torne-se um trinômio quadrado perfeito, o valor de A é:
A) 25
B) 125
C) 225
D) 625
E) 1025

08. A soma dos coeficiente da equação (x - 4)² = 5 após a sua padronizaçao é:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

GABARITO

01. C
02. E
03. B
04. E
05. A
06. B
07. A
08. D

EQUAÇÕES DO 2º GRAU - AULA 03

1. RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES COMPLETAS


Para determinar o conjunto-verdade de uma equação do 2º grau recomenda-se transformá-la noutra equivalente de modo a fique positivo e na busca da adequação à fórmula reduzida ao padrão, ou seja, enfatizando que uma equação do segundo grau deve ser escrita como:


ax² + bx + c = 0

e usa-se então a conhecida fórmula de Bhaskara conforme a figura que segue:

O binômio b² - 4ac chama-se discriminante e representa-se pela letra grega Δ (lê-se delta). Assim temos:

Δ = b² - 4ac

A nossa fórmula ficará então:

Este Δ(o discriminante) pode ser positivo, negativo ou nulo. Vejamos como exemplo a equação
(x - 2)² - 1 = 0
Como se percebe, esta equação não está no formato padronizado sen, portanto, necesário a sua devida organização e, para tanto vamos começar efetuando o quadrado da diferença indicada.
x² - 2.x.2 + 2² - 1 = 0
x² - 4x + 4 - 1 = 0
x² - 4x + 3 = 0
Agora sim, a equção que temos está padronizada e pronta para identificarmos os seus coeficientees que são: a = 1, b = - 4 e c = 3
Podemos, então,substituir os valores do coeficientes na fórmula do cálculo do Δ
Lembrando que : Δ = b² - 4ac
Δ = (-4)² - 4.1.3
Δ = 16 - 12
Δ = 4
e, como vemos Δ > 0
Estamos prontos para substituir na fórmula reduzida de Bhaskara:

Lembrando a fórmula:

Substituindo os coeficientes fica:

efetuando as operaçõe indicadas tmos:

=> =>

=> =>

=> =>

=> =>

=> =>

Logo o conjunto-verdade da equação é dado por:
V = {1, 3}

Neste exemplo a equação deu origem a dois resultados (2 raízes) possíveis. Nem sempre é assim.
Conforme seja o sinal do discrimenante, teremos três casos para interpretar. Em seguida veremos cada um destes casos.

I. No caso de Δ > 0

Se o discriminante é maior do que zero(positivo), como aconteceu no exemplo que acabamos de estudar, é possível extrair a raiz quadrada de Δ com resultado positivo e não nulo, o que faz com que a equação tenha duas raízes reais.


EXERCÍCIO RESOLVIDO

Resolver a equação 3x² - 7x + 2 = 0

Solução

Tem-se os coeficientes com os valores: a = 3; b = -7; c = 2

Calculando o valo de Δ temos:

Substituindo na fórmula temos:

Daí V = {1/3,2}


II. N0 caso de Δ = 0

Quando o discriminante é nulo tem-se que Δ = 0 fazendo com que a fórmula para o cálculo da raízes da equação do 2º grau fique reduzida a com resultado único. Concluímos então que quando Δ = 0 a equação do 2º grau terá apenas uma raiz real ( ou raiz dupla) e o conjunto-verdade ficará

V = {-b/2a}


EXERCÍCIO RESOLVIDO

Resolver a equação x² - 4x +4 = 0

Solução

Temos que:
a = 1; b = -4; c = 4
Vamos calcular o discriminante
Δ = (-4)² - 4.1.4 => Δ = 16 - 16 => Δ = 0


Substituindo na fórmula teremos:

x = -(-4)/(2.1)

E o conjunto-verdade será:

V = {2}


III. No caso de Δ < 0

Sendo o discriminante negativo, não podemos extrair a raiz quadrada quando o conjunto universo é o conjunto dos reais. Sendo assim, toda equação do 2º grau com discriminante menor do que zero não admite nenhuma raiz real. Conseqüentemente o conjunto-verdade será vazio.

V = { }

Exercícios propostos sobre equações do 2º grau completas 01

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EQUAÇÕES DO 2º GRAU - GABAITO 02

a) {0,3}
b) {0,7}
c) {0,3}
d) {0,-6}
e) {0,-3}
f) {0,8)
g) {0,4}
h) {0,2}
i) {0,5}
j) {0,2}

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Resolver as equações da forma ax2 + bx = 0

a) 4x² - 12x = 0
b) 2x² - 14x = 0
c) 5x² - 15x = 0
d) 3x² + 18x = 0
e) 7x² + 21x = 0
f) 9x² - 72x = 0
g) x² - 4x = 0
h) x(x + 3) = 5x
i) 2x² = 10x
j) (x + 1)(x - 3) = -3

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EQUAÇÕES DO 2º GRAU - GABAITO 01

a){-4, 4}
b)∅
c){-4, 4}
d){-1, 1}
e){-3/2, 3/2}
f){-1/6, 1/6}
g){-4/3, 4/3}
h){-5/4, 5/4}
i) ∅
j) {-3, 3}
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Resolver as equações da forma ax2 + c = 0

a) 4x² - 64 = 0
b) 5 x² + 5 = 0
c) -3 x² + 48 = 0
d) x² - 1 = 0
e) 4 x² - 9 = 0
f) 36 x² - 1 = 0
g) 9 x² - 16 = 0
h) 25 - 16 x² = 0
i) 1 + 4 x² = 0
j) 45 - 5x² = 0

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EQUAÇÕES DO 2º GRAU - AULA 02

1. INTRODUÇÃO

EQUAÇÕES COMPLETAS E INCOMPLETAS

1. INTRODUÇÃO

Na aula anterior tratamos da identificação das equações do 2º grau. Neste momento trataremos da classificação das equações do segundo grau como incompletas e completas, reconhecer estes tipos bem como resolver as equações do 2º grau incompleta, em seus 3 casos diferentes. Já a resolução das equações do segundo grau completa será assunto das aulas subsequantes.

2. CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU

2.1- Uma equação do 2º grau é completa quando, reduzida à forma geral, tem todos os coeficientes diferentes de zero.

2.2- Chama-se incompleta se pelo menos um de seus coeficientes, com exceção de a, é igual a zero.

3. TIPOS DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS

As equações incompletas são dos tipos seguintes:

◊ ax² + bx = 0 quando c = 0
◊ ax² + c = 0 quando b = 0
◊ ax² = 0 quando b = c = 0


4. RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES INCOMPLETAS

Resolver uma equação é achar o seu conjunto-verdade, soluções ou raízes. No campo real o seu conjunto-verdade pode ter um elemento, dois ou mesmo ser vazio.

É importante lembrar que uma raiz (ou solução) de uma equação é um número que, ao ser colocado no lugar de da variável/incógnita, torna a igualdade(sentença) correta.

◊ 4.1- Equação da forma ax² + c = 0
Lembrando que estas equações acontecem quando o coeficiente b = 0.

Solução
ax² + c = 0
Transportando a constante “c” para o segundo membro teremos,
ax² = - c
e dividindo pelo coeficiente “a” resulta:

x² = - c/a

Se o segundo membro é constituído por um número positivo o conjunto-verdade terá dois elementos os quais serão números reais relativos simétricos.
Veja que, extraindo a raízes quadradas, teremos:

x = ±√(-c/a)

Fazendo, para simplificar, k = - √(-c/a)
teremos: V = { - k , + k }

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Exemplo 1:Resolver a equação 5x²- 20 = 0.
Solução

Transportando a constante(o termo independente) para o 2º membro da equação temos:
5x² = 20
e dividindo pelo coeficiente de x², temos:
x² = 20/5
x² = 4
x = ± √4
donde x = ± 2
Logo V = { - 2, + 2}

Observação: É importante salientar que as soluções de uma equação desse tipo nem sempre são números inteiros.

Veja a equação que segue para exemplificar esta observação:

5x² - 50 = 0
5x² = 50
x² = 50 / 5
x² = 10
x = ±√10
V = { - √10, √10}

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1


◊ 4.2- Equação da forma ax² + bx = 0

Solução

Colocando x em evidência, teremos:
x(ax + b) = 0
Aplicando a lei do cancelamento do produto, resulta
x = 0 ou ax + b = 0
A solução x = 0 é um elemento do conjunto-verdade da equação. Da segunda, tiramos:
ax = - b => x = - b/a
Logo, V = {0, -b/a}


EXERCÍCIO RESOLVIDO

Resolver a equação 2x² - 10x = 0
Fatorando, teremos:
2x(x - 5) = 0 donde
⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0
ou
x - 5 = 0 ⇒ x = 5

Concluímos então que V = {0, 5}

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 2


◊ 4.3- Equação da forma ax² = 0

Passando a para o segundo membro da equação temos

x² = 0/a ⇒


x² = 0 ⇒

x = ± √0 ⇒
x = ± 0 ⇒
x = 0 Logo,
V = {0}

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE EQUAÇÃO DO 2º GRAU 02

EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE EQUAÇÃO DO 2º GRAU 02

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EQUAÇÕES DO 2º GRAU - AULA 01

1. INTRODUÇÃO

Não é raro, ao equacionarmos um problema, obtermos uma equação com a incógnita aparecendo elevada ao quadrado. Estas são as chamadas equações do 2º grau.

Eis alguns exemplos:

👉 x² - 20 = 0
👉4x² = 100x
👉x² - 8x + 15 = 0

Observe que em todas as expressões aparece o termo x com o expoente 2.

2. DEFINIÇÃO

Chama-se equação do 2º grau a uma incógnita a toda sentença aberta que é expressa ou pode ser colocada sob a forma