sexta-feira, 10 de abril de 2009

TEORIA DOS CONJUNTOS


1. CONCEITO DE CONJUNTO
Conjunto tem a idéia primitiva de coleção.
Ex: a) Conjunto das vogais
A = {a, e, i, o, u}
b) Conjunto dos dias da semana
B = {segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado, domingo}
c) conjunto das cores da bandeira brasileira
C = {amarelo, azul, verde, branco}
Obs: Os conjuntos são sempre representados por letras latinas maiúsculas.

2. CONCEITO DE ELEMENTO
Elemento tem o conceito primitivo de ser cada um dos entes componentes do conjunto.
Ex: No conjunto "A" do exemplo "a" do tópico "1" caracterizado como o conjunto das vogais tem como elementos a letras: a, e, i, o, u.
Já no exemplo "b" temos o conjunto "B" que possui os elementos: segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado e domingo.
Agora no exemplo "c", conjunto das cores da bandeira brasileira, encontramos como elementos do conjunto "C": amarelo, azul, verde e branco.
Obs: Os elementos são sempre representados por letras latinas minúsculas.

3. CONCEITO DE NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO
n(X) representa o número de elementos do conjunto X. Assim nos exemplos dados no item 1 temos:
a) n(A) = 5
b) n(B) = 7
c) n(C) = 4
a) Seja um conjunto "D" formado pelos meses do ano começados pela letra "B". Neste caso D = { } o qual pelo que percebemos trata-se de um conjunto que não possui nenhum elemento pois não encontramos nenhum mês do ano começado pela letra "B" que nos permite concluir que n(D) = 0.

4. RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
Um dado ente (objeto, coisa) pode pertencer ou não a um conjunto específico que seja objeto de estudo.
Usamos o símbolo:quando queremos indicar que um dado elemento pertence a um conjunto.

Quando queremos indicar uma situação contrária a esta, ou seja, que um dado elemento não pertence a um conjunto.usamos o símbolo

5. SIMBOLOGIA BÁSICA

Pertence



Não pertence
  união
  menor ou igual
  Existe
  maior ou igual
  não existe
  intersecção
  Para todo (qualquer que seja)
  conjunto vazio
  implica
  e
  diferente
  ou
  Se e somente se
  tal que
  está contido
  menor que
  não está contido
  maior que
  contém
 de onde

6. CONCEITOS PRIMITIVOS
Lembramos que os conceitos de conjunto, elemento bem como a relação de pertinência entre elemento e conjunto são conceitos primitivos, isto é, são conceitos afirmados, escolhidos, a partir dos quais se tiram as demais conclusões.

7. MANEIRAS DE DEFINIR UM CONJUNTO

a)Enumerando individualmente todos os elementos:
A = {a, e, i, o, u}
b)Enunciando um critério de pertinência que é satisfeito por todos os elementos:
A = {x|x é vogal}

8. CONJUNTO

a)Vazio – não tem elemento
{x|x + 2 = x} =  = { }
{x|x > 2} =  = { }
b)Unitário – Um único elemento
c)Universo – Conjunto de todos os entes que são sempre considerados como elementos

9. IGUALDADE DE CONJUNTOS:

1.Definição
Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais se e somente se têm exatamente os mesmos elementos.
A = B  (x)(x  A  x  B)
2.Observação:
Dois conjuntos iguais têm o mesmo número de elementos mas a recíproca não é verdadeira.
3.Propriedades:
(P1) REFLEXIVA: A = A
(P2) SIMÉTRICA: A = B  B = A
(P3) TANMSITIVA: A = B e B = C  A = C

10. RELAÇÃO DE INCLUSÃO:

1.Definição
Um conjunto A está contido num outro conjunto B se e somente se todo elemento de A também é elemento de B.
A  B  (x)(x  A  x  B)
2.PROPRIEDADES:

(P1) REFLEXIVA: A  A
(P2) TRANSITIVA: A  B e B  C  A  C
(P3) ANT-SIMÉTRICA: A  B e B  A  A  B
(P4)   A,  A
(P5) A  U,  A

11. SUBCONJUNTO

1.DEFINIÇÃO:
Quando o conjunto A está contido em B, diz-se que o conjunto A é SUBCONJUNTO de B ou PARTE de B.

2.DEFINIÇÃO:
Dois conjuntos a e B são ditos comparáveis se a está contido em B ou B está contido em A.
Ex.: A {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4}. Como A  B, então A e B são comparáveis.

12. CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO

DEFINIÇÃO:
O conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de a, isto é:
P(A) = {x|x  A}

Ex1.: Seja A = {a, b}. Calcular P(A):
Solução:
Os subconjuntos de A são = , {a}, {b}, {a, b} então, P(A) = {, {a}, {b}, {a, b}}
Ex2.: Se A = {a, b, c}. Calcular P(A):
Os subconjuntos de A são = , {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} então,
P(A) = {, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }.

OBSERVAÇÃO:
Se o conjunto A tem n elementos, o número de subconjuntos d A é dado pela fórmula:
n(A) = 2n.

Ex3: Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, calcular o número de subconjunto de A que só tenham números ímpares.
Solução:
Seja B o subconjunto de A formado pelos elementos ímpares de A.
B = { 1, 3, 5, 7}. Como n(B) = 4, então o número de subconjuntos de B é 24 = 16. Tirando o conjunto vazio, pois o problema só pede números ímpares, logo o número de subconjuntos é 15.


OBSERVAÇÃO:
Se n(A) = n, então o número de elementos de
P(P(A)) = 22n. O número de subconjuntos de P(P(A)) = 2 elevado a 22n.
Veja que para calcular o número de elementos de P(P(A)) o 2 aparece o número de vezes de P e para calcular o número de subconjuntos de P(P(A)) o 2 aparece uma vez mais.

Ex4.: Se A = , então o número de elementos de P(P(P(A))) = 2 elevado a 220 = 2 elevado a 21 = 22 = 4 e o número de subconjuntos de P(P(P(A))) = 24 = 16.
10.OPERAÇÕES DE DOIS CONJUNTOS:

1. INTERSECÇÃO DE DOIS CONJUNTOS
a. DEFINIÇÃO:
A intersecção de dois conjuntos a e B é o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B.
A  B = {x|x  A  B}



Ex4.: A = { x|x é divisível por 3}
B = { x|x é divisível por 2}
Então A  B = {x|x é divisível por 3 e por 2}
A  B = {x|x é divisível por 6}
Observe que:
 A  B  A e A B  B
 Se A  B = , então A e B são disjuntos.

b. PROPRIEDADES:
(P1) Comutativa:
A  B = B  A
(P2) Associativa:
(A  B)  C = A  (B  C) = A  B  C
(P3) Intersecção com o conjunto vazio:
A   =   A= , A.
(P4) Idempotente:
A  A = A

2. UNIÃO (OU REUNIÃO) DE DOIS CONJUNTOS:
a.DEFINIÇÃO:
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
A  B = {x|x  A  x  B}



x5: A = { x  IN / x termina por 0 }
B = { x  IN / x termina por 5 }
Então A  B = {x  IN / x termina por 5 ou 0} ou
A  B = {x  IN / x é divisível por 5 }
Observe que: A  B  B e B  A  B.

b.PROPRIEDADES:
(P1) COMUTATIVA: A  B = B  A
(P2) ASSOCIATIVA: (A  B)  C = A  (B  C)
(P3) UNIÃO COM O CONJUNTO VAZIO:
A   =   A = A, A.
(P4) UNIÃO COM O CONJUNTO UNIVERSO:
A  U = U  A = U, A.
(P5) IDEMOTENTE: A  A = A, A.

3.DIFERENÇA DE DOIS CONJUNTOS

A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
A – B = A/B = A  B = {x|x  A  x  B}

Ex6: Seja A = {1, 2, a} e B = {1, 3, b, c} então A – B = {2, a} e B – a = {3, b, c}.
Observações:
Se A  B , então A – B = 
Se A  B =  então A – B = A e B – A = B



4.DIFERENÇA SIMÉTRICA DE DOIS CONJUNTOS:

A diferença simétrica de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a um e a somente a um dos dois conjuntos A ou B.
A  B = (A – B )  ( B – A) (I)
A  B = (A  B ) – ( A  B) (II)

Ex7.: Dados os conjuntos:
A = {1, 2, 3, 4} e B = 3, 4, 5, 6}, Calcular A  B.
Pela fórmula (I) temos: A – B = {1, 2}
B – A = {5, 6}
Então A  B = (A – B )  ( B – A) = {1, 2, 5, 6}
Pela fórmula (II) temos:
A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A  B = {3, 4}
Então:
A  B = A  B – A  B = {1, 2, 5, 6}

5.CONJUNTO COMPLEMENTAR:

Seja A um subconjunto de B. Chama-se complementar de A em relação a B ao conjunto formado pelos elementos de B que não pertencem ao conjunto A.
CBA = {x|x  B  x  A}

OBSERVAÇÃO:

Quando a complementação é uma relação ao conjunto universo U, no lugar da notação CBA, usa-se: AC ou A’ ou A.

1O Caso: Dois conjuntos disjuntos.
Representando-se por n(A) o número de elementos do conjunto A, por n(B) o número de elementos do conjunto B, e por n(A  B) o número de elementos de A  B, temos que:

n(A  B) = n(A) + n(B)



2O Caso: Dois conjuntos não disjuntos. Neste caso temos:
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)



Ex8.: Numa escola estão matriculados 530 alunos assim distribuídos: 280 estudam Matemática, 240 Física e 40 que não estudam nem matemática nem Física. Quantos alunos:
a)estudam Matemática ou Física?
b)estudam Matemática e Física?
c)Não estudam Física?









SOLUÇÃO
M – Conjunto dos alunos que estudam Matemática
F - Conjunto dos alunos que estudam Física
E - Conjunto dos alunos da escola.
Então:
a)n( M  F) = 530 – 40 = 490
b)n( M  F) = n(M) + n(F) – n(M  F)
490 = 280 + 240 – n(M  F)
n(M  F) = 520 – 490
n(M  F) = 30
c)n(E) – n(F) = 530 – 290

n(E) – n(F) = 290

3O Caso: Três conjuntos finitos:
Neste caso temos:
n( A B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) –
– n(A  C) – n(B  C) + n(A  B  C)

13. CONJUNTOS NUMÉRICOS

Em nosso estudo, utilizaremos os seguintes conjuntos numéricos:
|N = {0, 1, 2, 3, ...}: conjunto dos números naturais
IN* = |N - {0} = {1, 2, 3, ...}: conjunto dos naturais positivos
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}:conjunto dos números inteiros
Z* = Z - {0} ={..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}:conjunto dos números inteiros não – nulos
Z+ = N = {0, 1, 2, 3, ...}: conjunto dos números inteiros não – negativos
Z_ = {0, -1, -2, -3, ...}: conjunto dos números inteiros não – positivos
Z*+ = N = {1, 2, 3, ...}: conjunto dos números inteiros positivos
Z*_ = N = {-1, -2, -3, ...}: conjunto dos números inteiros negativos
Q = { : conjunto dos números racionais
Q* = { conjunto dos números racionais não – nulos
Q+ = conjunto dos racionais não - negativos
Q*+ = conjunto dos racionais positivos
Q_ = conjunto dos racionais não - positivos
Q*_ = conjunto dos racionais negativos
IR = conjunto dos números reais
I = IR - Q = conjunto dos números irracionais
Este ultimo conjunto é o dos números que podem ser escritos na forma decimal com infinitas casas decimais e não são periódicos. Verifica-se que esses números não são racionais (não podem ser obtidos pela divisão de dois inteiros). Eles são denominados números irracionais.



IR* = IR - {0} = {x  IR | x  o}: conjunto dos números reais não – nulos
Os símbolos IR+, IR*+, IR_, IR*-, têm significados análogos.





IN Z Q



Q

IR  IR = Q  Q

14. INTERVALOS

Em grande parte dos modelos matemáticos empregados na Física. Economia, Biologia, Química, etc., é usado um tipo especial de subconjunto de |R, chamado intervalo:
O conjunto dos números reais entre a e b é chamado intervalo aberto.



Indicação: {x  |R | a <> a} = ]a, +[
Conjunto dos números reais maiores ou iguais a a
Indicação: {x  |R | x  a} = [a, +[

Conjunto dos números reais menores que a
Indicação: {x  |R | x < a =" {0," b =" {1," b =" {(0,1)," r =" {(0," a =" {0," b =" {" r =" {(a," r =" {(0," a =" {" b =" {" r =" {(1," a=" [-2," b ="[1," r ="{(x," y =" 2x}" a =" {-1," b =" {" r =" {" b =" 5}." r =" {(0," y =" R(x)" r =" {" a =" {1," b =" {0," 2 =" R(1)," 4 =" R(3)," 5 =" R(4)," a =" {{1}." a =" {x" x =" 4n," b =" {" x =" n," a =" {a," b =" {b," c =" {a," p =" (A" a =" {x" b =" {" c =" {" a =" B" b =" B" c =" B" a =" B" b =" B" b =" A," a =" B" b =" " m =" {1," n =" {1," a =" {x" b =" {x" d =" divisores" m =" Múltiplos" s =" D" n =" número" a =" {x" b =" {" c =" {x" x =" a" b =" {6," a =" {4," b =" {2," p =" {cidades" r =" {pessoas" t =" {pessoas" a =" B," b =" " b =" " b =" A" a =" {1," b =" {3," c =" {1," ir =" Q" in =" IR" a =" {,"> 3. Pode-se então concluir que:
a)x  – 1 ou x > 1 d) x > 3
b)x  2 ou x < a =" B," b =" A" b =" B" a =" " a =" B" a =" {x" b =" {" b =" {2," b =" {x" b =" {x" b =" {x" b =" {x" a =" ]" b =" ]0," c =" [–1,"> 1
36.(Mack-SP) Sejam os conjuntos:
A = { x  IR | 0  x  3};
B = { x  IR | x  3};
C= { x  IR | – 2  x  3}.
O conjunto (B – A) C é:
a) d) { x  IR | – 2  x  0}.
b){ x  IR | x <> – 2}.
37.(UFRN) Dados os conjuntos
A = { x  IR ; x > 2} e
B = { x  IR ; x < b =" {x" b =" IR" b =" {3}" b =" {x" b =" " b =" {(-1," a =" {-1," b =" {" r =" {(x," y =" 2}" r =" {(x," x =" 2y}" a =" {" b =" {y" a =" {1," b =" {-1," r =" {(x," y =" x2}" 1 =" {(1," 1 =" {(1," 1 =" {(1," 1 =" {(1," 1 =" {(1," b =" A" c =" A" b =" B" a =" {1}," b=" {0," c =" {1," d =" {0," a =" {x/x" b =" {x/x" c =" {x/x" a =" {0," a =" B="" a =" {0," b =" {2," c =" {x" a =" {x" a=" {1}," b =" {0," e =" {0,1," c =" " s =" {-" m =" {x" n =" {x2" b =" A" q =" 2" q ="4" p =" 4" p =" 2" p =" {x/{-1,1}" a =" {0," b =" {20," n =" {0," b =" 20" a =" N" b =" {0," b =" N" r =" {-2," s =" {-" t =" {-2,">

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