EQUAÇÕES DO 2º GRAU - AULA 06

5. RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES COMPLETAS

Para achar seu conjunto-verdade é recomenda-se transformá-la noutra equivalente de modo a fique positivo e usa-se então a fórmula:




O binômio b² - 4ac chama-se discriminante e representa-se pela letra grega Δ (lê-se delta). Assim temos:

Δ = b² - 4ac

A nossa fórmula ficará então:



Este pode ser positivo, negativo ou nulo. Conforme seja o seu sinal, teremos três casos para interpretar.

I. Δ > 0

Se o discriminante é maior do que zero(positivo), é possível extrair a raiz quadrada de Δ o que faz com que a equação tenha duas raízes reais.

Logo o conjunto-verdade da equação é dado por:




EXERCÍCIO RESOLVIDO

Resolver a equação 3x² - 7x + 2 = 0

Solução

Tem-se que: a = 3; b = -7; c = 2

Calculando o valo de Δ temos:
Δ = (-7)² - 4.3.2 => Δ = 49 - 24 => Δ = 25
Substituindo na fórmula temos:


Daí V = {1/3,2}


II. Δ = 0

Quando o discriminante é nulo tem-se que = 0 fazendo com que a fórmula para o cálculo da raízes da equação do 2º grau fique reduzida a com resultado único. Concluímos então que quando  = 0 a equação do 2º grau terá apenas uma raiz real ( ou raiz dupla) e o conjunto-verdade ficará

V =


EXERCÍCIO RESOLVIDO

Resolver a equação x² - 4x +4 = 0

Solução

Temos que:
a = 1; b = -4; c = 4
Vamos calcular o discriminante
Δ = (-4)² - 4.1.4 => Δ = 16 - 16 => Δ = 0
Substituindo na fórmula teremos:

E o conjunto-verdade será:

V = {2}

III. Δ < 0 Sendo o discriminante negativo, não podemos extrair a raiz quadrada quando o conjunto universo é o conjunto dos reais. Sendo assim, toda equação do 2º grau com discriminante menor do que zero não admite nenhuma raiz real. Conseqüentemente o conjunto-verdade será vazio. EXERCÍCIOS

4. Resolver as equações do 2º grau completas que seguem.
21) x² + 3 - 2x = 0
22) 12x = 64 - x²
23) (x +3) (x - 3) = 6x - 17
24) x(x - 2) + 1 = 2(x + 3)
25) (x - 5)² = x + 1
26) (x + 3) (x - 3) = 12x - 36
27) (x - 4)² - (x - 1)² = 10 - x²
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38) (Colégio Naval)
39)
40)
41)
42)
43) (Escola Preparatória de Cadetes do Exército)
44)
45)
46)
47) (Escola Preparatória de Cadetes do ar)
48)
49)
50)
51)
52) (Escola Preparatória de Cadetes do ar)
53)
54)
55) determine m na equação: (m – 2)x² – 3mx + (m + 2) = 0 de modo que ela tenha uma raiz positiva e outra negativa.
56) As raízes da equação x² – 4x + k = 0 são x₁ e x₂. Se , qual o valor de k?
a) 9
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
57)

GABARITO


3. a) {2a, -2a} b) {3k,-3k} c) {ab3,-ab3}
d) {2b,-2b} e) {6t2,-6t2} f) {m,-m}
g) {3k,-3k} h) {a,-a} i) {3k,-3k}
j) {2m,-2m} k) {0,a} l) {0,b/2}
m) {0,p/q} n) {0,-4t/3} o) {-k2,k2}
p) {0,2a} q) {0,2a/k } r) {0,p/2}
4. 1) {1;2/3} 2){-3,1/2} 3){1/3,3} 4){1/3,1/2}
5) {-1/2,1/4} 6) {} 7) {-3/2,1/3}
6) {2,3} 9) {1,4} 10) {1/2} 11) {-7,-2}
12) {3,5} 13) {4,7} 14) {-3,9} 15) { }
16) {-8,4} 17) { } 18) {-3,7} 19) {1,11}
20) {-11,3} 21) { } 22) {-16,4} 23) {12,4}
24) {-1,5} 25) {3,8} 26) {3,9} 27) {1,5}
28) { } 29) {1/2,1/4} 30) {-8/3,3} 31) {3,6}
32) {-1/6.6} 33){ } 34) {-2,4} 35) {1/3,2/3}
36) {-1/3,2} 37) {3,6} 38){2,3} 39) {-6,7}
40) {-1/2,5} 41) {5,14} 42){-12,8} 43) {3,5}
44) {14,-10} 45){-2,44} 46){2,3) 47) {2,5}
48) {-2,2} 49) {0,5} 50) {3,9} 51) {-10,10}
52) {-2/3,4} 53) {-3,18} 54) {1,2;5}

TESTES DE EXAMES PÚBLICOS

01. (CEFET 2001/II FASE-ADAPTADA PARA OBJETIVA - EXAME DE SELEÇÃO ENSINO MÉDIO) Determine o valor de p para que as raízes a e b da equação 2x² – px – 1 = 0 satisfaçam a relação a² + b² = 1.
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

02. (CEFET 2001/Conhecimentos gerais-EXAME DE SELEÇÃO ENSINO MÉDIO - ADAPTADA PARA 5 alternativas) Os valores do parâmetro K, para os quais a equação X² + X + (K² − 7K ) = 0 tem uma raiz nula, são:
A) 0 e 7
B) 0 e -7
C) -7 e 7
D) -7 e -7
e) 7 e 7

03. (CEFET 2003/EXAME DE SELEÇÃO ENSINO MÉDIO - CG)Se o inverso multiplicativo de x + 4 é x - 4, com x ≠ ±4, x é um número:
A) natural
B) inteiro negativo
C) racional
D) complexo
E) irracional

04. (CEFET 2003/EXAME DE SELEÇÃO ENSINO MÉDIO - CG)Sejam x₁ e x₂ as raízes da equação 2x² - 6x + p - 2 = 0. Se, então P é igual a:
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 8


GABARITO
01. A
02. A
03. E
04. C

EQUAÇÕES DO 2º GRAU - AULA 05

5. RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES COMPLETAS

Para achar seu conjunto-verdade é recomenda-se transformá-la noutra equivalente de modo a fique positivo e usa-se então a fórmula:




O binômio b² - 4ac chama-se discriminante e representa-se pela letra grega Δ (lê-se delta). Assim temos:

Δ = b² - 4ac

A nossa fórmula ficará então:



Este pode ser positivo, negativo ou nulo. Conforme seja o seu sinal, teremos três casos para interpretar.

I. Δ > 0

Se o discriminante é maior do que zero(positivo), é possível extrair a raiz quadrada de Δ o que faz com que a equação tenha duas raízes reais.

Logo o conjunto-verdade da equação é dado por:




EXERCÍCIO RESOLVIDO

Resolver a equação 3x² - 7x + 2 = 0

Solução

Tem-se que: a = 3; b = -7; c = 2

Calculando o valo de Δ temos:
Δ = (-7)² - 4.3.2 => Δ = 49 - 24 => Δ = 25
Substituindo na fórmula temos:


Daí V = {1/3,2}


II. Δ = 0

Quando o discriminante é nulo tem-se que = 0 fazendo com que a fórmula para o cálculo da raízes da equação do 2º grau fique reduzida a com resultado único. Concluímos então que quando  = 0 a equação do 2º grau terá apenas uma raiz real ( ou raiz dupla) e o conjunto-verdade ficará

V =


EXERCÍCIO RESOLVIDO

Resolver a equação x² - 4x +4 = 0

Solução

Temos que:
a = 1; b = -4; c = 4
Vamos calcular o discriminante
Δ = (-4)² - 4.1.4 => Δ = 16 - 16 => Δ = 0
Substituindo na fórmula teremos:

E o conjunto-verdade será:

V = {2}

III. Δ < 0 Sendo o discriminante negativo, não podemos extrair a raiz quadrada quando o conjunto universo é o conjunto dos reais. Sendo assim, toda equação do 2º grau com discriminante menor do que zero não admite nenhuma raiz real. Conseqüentemente o conjunto-verdade será vazio. EXERCÍCIOS

4. Resolver as equações do 2º grau completas que seguem.
21) x² + 3 - 2x = 0
22) 12x = 64 - x²
23) (x +3) (x - 3) = 6x - 17
24) x(x - 2) + 1 = 2(x + 3)
25) (x - 5)² = x + 1
26) (x + 3) (x - 3) = 12x - 36
27) (x - 4)² - (x - 1)² = 10 - x²
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38) (Colégio Naval)
39)
40)
41)
42)
43) (Escola Preparatória de Cadetes do Exército)
44)
45)
46)
47) (Escola Preparatória de Cadetes do ar)
48)
49)
50)
51)
52) (Escola Preparatória de Cadetes do ar)
53)
54)
55) determine m na equação: (m – 2)x² – 3mx + (m + 2) = 0 de modo que ela tenha uma raiz positiva e outra negativa.
56) As raízes da equação x² – 4x + k = 0 são x₁ e x₂. Se , qual o valor de k?
a) 9
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
57)

GABARITO


3. a) {2a, -2a} b) {3k,-3k} c) {ab3,-ab3}
d) {2b,-2b} e) {6t2,-6t2} f) {m,-m}
g) {3k,-3k} h) {a,-a} i) {3k,-3k}
j) {2m,-2m} k) {0,a} l) {0,b/2}
m) {0,p/q} n) {0,-4t/3} o) {-k2,k2}
p) {0,2a} q) {0,2a/k } r) {0,p/2}
4. 1) {1;2/3} 2){-3,1/2} 3){1/3,3} 4){1/3,1/2}
5) {-1/2,1/4} 6) {} 7) {-3/2,1/3}
6) {2,3} 9) {1,4} 10) {1/2} 11) {-7,-2}
12) {3,5} 13) {4,7} 14) {-3,9} 15) { }
16) {-8,4} 17) { } 18) {-3,7} 19) {1,11}
20) {-11,3} 21) { } 22) {-16,4} 23) {12,4}
24) {-1,5} 25) {3,8} 26) {3,9} 27) {1,5}
28) { } 29) {1/2,1/4} 30) {-8/3,3} 31) {3,6}
32) {-1/6.6} 33){ } 34) {-2,4} 35) {1/3,2/3}
36) {-1/3,2} 37) {3,6} 38){2,3} 39) {-6,7}
40) {-1/2,5} 41) {5,14} 42){-12,8} 43) {3,5}
44) {14,-10} 45){-2,44} 46){2,3) 47) {2,5}
48) {-2,2} 49) {0,5} 50) {3,9} 51) {-10,10}
52) {-2/3,4} 53) {-3,18} 54) {1,2;5}

TESTES DE EXAMES PÚBLICOS

01. (CEFET 2001/II FASE-ADAPTADA PARA OBJETIVA - EXAME DE SELEÇÃO ENSINO MÉDIO) Determine o valor de p para que as raízes a e b da equação 2x² – px – 1 = 0 satisfaçam a relação a² + b² = 1.
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

02. (CEFET 2001/Conhecimentos gerais-EXAME DE SELEÇÃO ENSINO MÉDIO - ADAPTADA PARA 5 alternativas) Os valores do parâmetro K, para os quais a equação X² + X + (K² − 7K ) = 0 tem uma raiz nula, são:
A) 0 e 7
B) 0 e -7
C) -7 e 7
D) -7 e -7
e) 7 e 7

03. (CEFET 2003/EXAME DE SELEÇÃO ENSINO MÉDIO - CG)Se o inverso multiplicativo de x + 4 é x - 4, com x ≠ ±4, x é um número:
A) natural
B) inteiro negativo
C) racional
D) complexo
E) irracional

04. (CEFET 2003/EXAME DE SELEÇÃO ENSINO MÉDIO - CG)Sejam x₁ e x₂ as raízes da equação 2x² - 6x + p - 2 = 0. Se, então P é igual a:
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 8


GABARITO
01. A
02. A
03. E
04. C

Exercícios propostos sobre equações do 2º grau completas 05

Resolver as equações do 2º grau completas que seguem no universo dos reais.
01)
55) determine m na equação: (m – 2)x² – 3mx + (m + 2) = 0 de modo que ela tenha uma raiz positiva e outra negativa.
56) As raízes da equação x² – 4x + k = 0 são x₁ e x₂. Se , qual o valor de k?
a) 9
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
57)

GABARITO


01) Δ = 25; V = { }
02) Δ = 16; V = { }
03) Δ = - 8; V = { }
04) Δ = 400; V = { - 16, 4}
05) Δ = 4; V = { 2, 4}
06) Δ = 36; V = { - 1,5}
07) Δ = 25; V = { 3,8}
08) Δ = 36; V = { 3,9}
09) Δ = 16; V = { 1,5}
10) Δ = 0; V = { 3/2}

TESTES DE EXAMES PÚBLICOS

01. (CEFET 2001/II FASE-ADAPTADA PARA OBJETIVA - EXAME DE SELEÇÃO ENSINO MÉDIO) Determine o valor de p para que as raízes a e b da equação 2x² – px – 1 = 0 satisfaçam a relação a² + b² = 1.
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

02. (CEFET 2001/Conhecimentos gerais-EXAME DE SELEÇÃO ENSINO MÉDIO - ADAPTADA PARA 5 alternativas) Os valores do parâmetro K, para os quais a equação X² + X + (K² − 7K ) = 0 tem uma raiz nula, são:
A) 0 e 7
B) 0 e -7
C) -7 e 7
D) -7 e -7
e) 7 e 7

03. (CEFET 2003/EXAME DE SELEÇÃO ENSINO MÉDIO - CG)Se o inverso multiplicativo de x + 4 é x - 4, com x ≠ ±4, x é um número:
A) natural
B) inteiro negativo
C) racional
D) complexo
E) irracional

04. (CEFET 2003/EXAME DE SELEÇÃO ENSINO MÉDIO - CG)Sejam x₁ e x₂ as raízes da equação 2x² - 6x + p - 2 = 0. Se, então P é igual a:
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 8


GABARITO
01. A
02. A
03. E
04. C

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