quarta-feira, 30 de dezembro de 2009

EQUAÇÕES DO 2º GRAU - AULA 03

1. EQUAÇÕES COMPLETAS E INCOMPLETAS

Uma equação do 2º grau é completa quando, reduzida à forma geral, tem todos os coeficientes diferentes de zero.

Chama-se incompleta se pelo menos um de seus coeficientes, com exceção de a, é igual a zero.
As equações incompletas são dos tipos seguintes:


◊ ax2 + bx = 0 quando c = 0
◊ ax2 + c =0 quando b = 0
◊ ax2 = 0 quando b = c = 0

2. RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES INCOMPLETAS

Resolver uma equação é achar o seu conjunto-verdade. No campo real o seu conjunto-verdade pode ter um elemento, dois ou mesmo ser vazio.

Equação da forma ax2 + c = 0
Solução
Transportando a constante “c” para o segundo membro, e dividindo pelo coeficiente “a” resulta:

x2 = - c/a

Se o segundo membro é constituído por um número positivo o conjunto-verdade terá dois elementos, números reais relativos simétricos.
Veja que, extraindo a raízes quadradas, teremos:

x = ±√-c/a

Fazendo, para simplificar, k = - √-c/a
teremos: V = { - k , + k }

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Exemplo 1:Resolver a equação 5x2- 20 = 0.
Solução

Transportando a constante e dividindo pelo coeficiente de x2, temos:
donde x = ± 2
Logo V = { - 2, + 2}

EXERCÍCIOS

Equação da forma ax2 + bx = 0

Solução

Colocando x em evidência, teremos:
x(ax + b) = 0
Aplicando a lei do cancelamento do produto, resulta
x = 0 ou ax + b = 0
A solução x = 0 é um elemento do conjunto-verdade da equação. Da segunda, tiramos:
ax = - b => x = - b/a
Logo, V = {0, -b/a}


EXERCÍCIO RESOLVIDO

Resolver a equação 2x2 - 10x = 0
Fatorando, teremos:
2x(x - 5) = 0 donde
2x = 0 x = 0
ou
x - 5 = 0 x = 5

Concluímos então que V = {0, 5}


EXERCÍCIOS

Equação da forma ax2 = 0

Passando a para o segundo membro da equação temos
x2 = 0/a ⇒ x2 = 0 ⇒ x = ± √0 ⇒ x = ± 0 ⇒ x = 0 Logo, V = {0}

EXERCÍCIOS


3. Resolver as seguintes equações literais:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)


5. RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES COMPLETAS

Para achar seu conjunto-verdade é recomenda-se transformá-la noutra equivalente de modo a fique positivo e usa-se então a fórmula:




O binômio b2 - 4ac chama-se discriminante e representa-se pela letra grega &Delta (lê-se delta). Assim temos:

&Delta = b2 - 4ac

A nossa fórmula ficará então:



Este pode ser positivo, negativo ou nulo. Conforme seja o seu sinal, teremos três casos para interpretar.

I. &Delta > 0

Se o discriminante é maior do que zero(positivo), é possível extrair a raiz quadrada de &Delta, o que faz com que a equação tenha duas raízes reais.

Logo o conjunto-verdade da equação é dado por:




EXERCÍCIO RESOLVIDO

Resolver a equação 3x2 - 7x + 2 = 0

Solução

Tem-se que: a = 3; b = -7; c = 2

Calculando o valo de &Delta temos:
&Delta = (-7)2 - 4.3.2 => &Delta = 49 - 24 => &Delta = 25
Substituindo na fórmula temos:


Daí V = {1/3,2}


II. &Delta = 0

Quando o discriminante é nulo tem-se que = 0 fazendo com que a fórmula para o cálculo da raízes da equação do 2º grau fique reduzida a com resultado único. Concluímos então que quando  = 0 a equação do 2º grau terá apenas uma raiz real ( ou raiz dupla) e o conjunto-verdade ficará

V =


EXERCÍCIO RESOLVIDO

Resolver a equação x2 - 4x +4 = 0

Solução

Temos que:
a = 1; b = -4; c = 4
Vamos calcular o discriminante
&Delta = (-4)2 - 4.1.4 => &Delta = 16 - 16 => &Delta = 0
Substituindo na fórmula teremos:

E o conjunto-verdade será:

V = {2}

III. &Delta < 0 Sendo o discriminante negativo, não podemos extrair a raiz quadrada quando o conjunto universo é o conjunto dos reais. Sendo assim, toda equação do 2º grau com discriminante menor do que zero não admite nenhuma raiz real. Conseqüentemente o conjunto-verdade será vazio. EXERCÍCIOS

4. Resolver as equações do 2º grau completas que seguem.
1) 3x2 - 5x + 2 = 0
2) 2x2 + 5x - 3 = 0
3) 3x2 - 10x + 3 = 0
4) 6x2 - 5x + 1 = 0
5) 8x2 + 2x - 1 = 0
6) 2x2 - 5x - 7 = 0
7) 6x2 + 7x - 3 = 0
8) x2 - 5x + 6 = 0
9) x2 - 5x + 4 = 0
10) 4x2 - 4x + 1 = 0
11) x2 + 9x + 14 = 0
12) x2 - 8x + 15 = 0
13) -x2 + 11x - 28 = 0
14) x2 - 6x - 27 = 0
15) x2 - 6x +10 = 0
16) x2 + 4x - 32 = 0
17) x2+ x + 1 = 0
18) x2 = 4x + 21
19) x2 = 12x - 11
20) x2 - 33 = - 8x
21) x2 + 3 - 2x = 0
22) 12x = 64 - x2
23) (x +3) (x - 3) = 6x - 17
24) x(x - 2) + 1 = 2(x + 3)
25) (x - 5)2 = x + 1
26) (x + 3) (x - 3) = 12x - 36
27) (x - 4)2 - (x - 1)2 = 10 - x2
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38) (Colégio Naval)
39)
40)
41)
42)
43) (Escola Preparatória de Cadetes do Exército)
44)
45)
46)
47) (Escola Preparatória de Cadetes do ar)
48)
49)
50)
51)
52) (Escola Preparatória de Cadetes do ar)
53)
54)
55) determine m na equação: (m – 2)x2 – 3mx + (m + 2) = 0 de modo que ela tenha uma raiz positiva e outra negativa.
56) As raízes da equação x2 – 4x + k = 0 são x1 e x2. Se , qual o valor de k?
a) 9
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
57)

GABARITO


3. a) {2a, -2a} b) {3k,-3k} c) {ab3,-ab3}
d) {2b,-2b} e) {6t2,-6t2} f) {m,-m}
g) {3k,-3k} h) {a,-a} i) {3k,-3k}
j) {2m,-2m} k) {0,a} l) {0,b/2}
m) {0,p/q} n) {0,-4t/3} o) {-k2,k2}
p) {0,2a} q) {0,2a/k } r) {0,p/2}
4. 1) {1;2/3} 2){-3,1/2} 3){1/3,3} 4){1/3,1/2}
5) {-1/2,1/4} 6) {} 7) {-3/2,1/3}
6) {2,3} 9) {1,4} 10) {1/2} 11) {-7,-2}
12) {3,5} 13) {4,7} 14) {-3,9} 15) { }
16) {-8,4} 17) { } 18) {-3,7} 19) {1,11}
20) {-11,3} 21) { } 22) {-16,4} 23) {12,4}
24) {-1,5} 25) {3,8} 26) {3,9} 27) {1,5}
28) { } 29) {1/2,1/4} 30) {-8/3,3} 31) {3,6}
32) {-1/6.6} 33){ } 34) {-2,4} 35) {1/3,2/3}
36) {-1/3,2} 37) {3,6} 38){2,3} 39) {-6,7}
40) {-1/2,5} 41) {5,14} 42){-12,8} 43) {3,5}
44) {14,-10} 45){-2,44} 46){2,3) 47) {2,5}
48) {-2,2} 49) {0,5} 50) {3,9} 51) {-10,10}
52) {-2/3,4} 53) {-3,18} 54) {1,2;5}

TESTES DE EXAMES PÚBLICOS

01. (CEFET 2001/II FASE-ADAPTADA PARA OBJETIVA - EXAME DE SELEÇÃO ENSINO MÉDIO) Determine o valor de p para que as raízes a e b da equação 2x2 – px – 1 = 0 satisfaçam a relação a2 + b2 = 1.
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

02. (CEFET 2001/Conhecimentos gerais-EXAME DE SELEÇÃO ENSINO MÉDIO - ADAPTADA PARA 5 alternativas) Os valores do parâmetro K, para os quais a equação X2 + X + (K2 − 7K ) = 0 tem uma raiz nula, são:
A) 0 e 7
B) 0 e -7
C) -7 e 7
D) -7 e -7
e) 7 e 7

03. (CEFET 2003/EXAME DE SELEÇÃO ENSINO MÉDIO - CG)Se o inverso multiplicativo de x + 4 é x - 4, com x ≠ ±4, x é um número:
A) natural
B) inteiro negativo
C) racional
D) complexo
E) irracional

04. (CEFET 2003/EXAME DE SELEÇÃO ENSINO MÉDIO - CG)Sejam x1 e x2 as raízes da equação 2x2 - 6x + p - 2 = 0. Se, então P é igual a:
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 8


GABARITO
01. A
02. A
03. E
04. C

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