EQUAÇÕES DO 2º GRAU - AULA 04

Em nosso cotidiano, a equação do segundo grau tem aplicação crucial. Atrravés da equação do segundo grau encontramos as raízes, discriminante, e outros elementos da função quadrática ou do segundo grau. A função quadrática tem por gráfico uma parábola, ou trecho de parábola, que é a curva descrita, por exemplo, no lançamento e no movimento de projéteis como balas de canhão e foguetes, para presumir o ângulo de reflexão de faróis de carros, conjecturar o ângulo da antena parabólica, entre outras coisas. Nesta aula vamos começar relembrando algumas coisas já referidas nas três aulas anteriores.

De uma maneira geral, denominamos equação do segundo grau com uma única variável a toda expresão matemática que possa ser expressa na forma:

ax² + bx + c = 0

Em que x representa a variável única e a, b e c representam números reais, com a ≠ 0.
Vamos nos lembrar também da fórmula comumente usada para encontrar as raízes da equação de 2^º grau atribuída a Bhaskara:

Lembrando ainda que a ≠ 0 e que o binômio b² - 4ac chama-se discriminante e é representado pela letra grega Δ (que lemos delta).
Assim temos:

Este Δ pode ser positivo (Δ > 0), negativo (Δ < 0 ) ou nulo (Δ = 0). O que nos leva a pensar que conforme seja o seu sinal, teremos três casos para interpretar.

Se o discriminante é maior do que zero(positivo), é possível extrair a raiz quadrada de Δ o que faz com que a equação tenha duas raízes reais distintas.

Calculando preliminarmente o discriminante podemos antever, antes da resolução da equação, se a dita equação tem raízes reais ou não e, no caso de possuir raízes, se são distintas ou não.

I- Δ > 0 ⇒ ax² + bx + c = 0 possui duas raízes reais distintas ⇒ o conjunto-verdade da equação será dado por: V = { x₁, x₂}.

II- Δ = 0 ⇒ ax² + bx + c = 0 possui apenas uma raiz real ⇒ o conjunto-verdade da equação será dado por: V = { x₁}.

III- Δ < 0 ⇒ ax² + bx + c = 0 não possui raízes reais ⇒ o conjunto-verdade da equação será dado por: V = { }.

Agora vamos avançar nos estudos de equação do 2º grau aprendendo mais alguns truques/atalhos que podem fazer você ganhar tempo em muitas oportunidades.


SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO

Se a equação do 2º grau estiver na forma padronizada fica viável calcular a soma e o produto das raízes sem a necessidade do cálculo das raìzes. Este processo é conhecido como relações de Girard(1590-1633)

Chamaremos de S a soma das raízes e de P o seu produto o que nos levará a escrever:

S = x₁ + x₂ ⇒

P = x₁ . x₂ ⇒

EXERCÍCIO RESOLVIDO 1

Seja a equação a equação x² - 5x + 6 = 0. Calcule o valor da expressão E
E = (x₁ + x₂) . (x₁ . x₂).
Solução

Tem-se que: a = 1; b = - 5; c = 6

Na expressão pedida o primeiro o que está dentro do primeiro par de perenteses corresponde à soma das raízes e no segundo par de parenteses o produto:

E = (x₁ + x₂) . (x₁ . x₂)
E = S . P

Temos que nos lembrar que:

Observemos que a = 1 logo:

S = - b ⇒ S = - (-5) ⇒ S = 5 e

P = c ⇒ P = 6

Assim temos que E = S . P ⇒
⇒ E = 5 . 6 ⇒
⇒ E = 30

Resposta: E = 30



EXERCÍCIO RESOLVIDO 2

Escreva a equação x² + 7x + 12 = 0 na forma fatorada.

Solução

Tem-se que: a = 1; b = 7; c = 12

Como a = 1, a expressão pedida, a forma fatorada da equação do 2º grau, será do tipo:
x² + bx + c = 0 ⇒ (x - x₁) . (x - x₂) = 0
Pela expressão da forma fatorada fica revelado que vamos necessitar calcular as raízes da equação originária e, segundo as condições apresentadas; a = 1, equação do 2º grau na forma padrão, números inteiros e pequenos, fica mais prático encontrarmos as raízes pelo processo da soma e produto

Temos que nos lembrar que:

Destacando que a = 1 logo:

S = - b ⇒ S = - (7) ⇒ S = - 7 e

P = c ⇒ P = 12

Assim percebemos que x₁ e x₂ são dois números que somados dá - 7 e que multiplicados resulta 12 ⇒
⇒ x₁ = - 4 e x₂ = - 3

Substituindo na expressão da forma fatorada:
(x - x₁) . (x - x₂) = 0
⇒ [x - (- 4)] . [x - (- 3)] = 0⇒
⇒ [x + 4] . [x + 3] = 0⇒

Resposta: A equação na forma fatorada pedida é (x + 4) . (x + 3) = 0



QUESTÃO RESOLVIDA - BÔNUS -

POTENCIAÇÃO NO CAMPO DOS NATURAIS

(UFMT) Sobre o número natural n = 2⁴⁰ - 1, considere as seguintes afirmativas:

I) n é um múltiplo de 31.
II) n é um múltiplo de 5.
III) n é um número primo.
IV) n é um número par.

Estão corretas as afirmações:

a) III e IV
b) II e III
c) II e IV
d) I e III
e) I e II

Solução
Se numa prova uma questão lhe parecer fora de seus domínios não se espante e comece pelos conhecimentos que você consegue lembrar. Faça de conta que é umprato de canja de galinha quente e inicie matando essa sua fome ingerindo pela parte que deve está mais fria, que deve ser próximo à borda por ter menos quantidade de sopa, tende a esfriar primeiro.
Nesta canja, ops! nesta questão vamos começar anaisando as afirmativas para ver se encontramos alguma absurda de cara.

A afirmativa IV "n é um número par." me parece fácil de julgar.
Se num produto de números naturais um dos fatores for o número 2 o resultado será par.(Uma boa lembrança)
Na expressão n = 2⁴⁰ - 1, percebemos que 2⁴⁰ é uma potência do número 2 ou seja, um produto que só tem o número 2 como fator e repetidas vezes nos permitindo concluir que, com certeza, 2⁴⁰ é par.
Puxando um pouco mais da nossa sabedoria nos deparamos com o fato de que "todo número par diminuído de uma unidade tem como resultado um número ímpar". Isto nos remete à conclusão de que n é ímpar tornando falsa a afirmativa IV e, por consequencia elimminando as alternativas a e c restando apenas apenas as opções b, d e e.

Olhando para a parte potencial da expressão de n e desenvolvendo temos:

2⁴⁰ = 2¹⁰ . 2¹⁰ . 2¹⁰ . 2¹⁰
Calculando temos que 2¹⁰ = 1024 ⇒
2⁴⁰ = 1024 . 1024 . 1024 . 1024
Focando só nos algarismos das unidades, 4, temos que:
4 . 4 . 4 . 4 = 256 que termina em 6 logo,
n termina em 6 - 1 = 5
Esticando nossa sabedoria lembramos que todo número terminado em 0 ou 5 é múltiplo de 5.
Agora estamos prontos para afirmar que n = 2⁴⁰ - 1 é múltiplo de 5 tornando a afirmativa II correta ao mesmo tempo que torna a afirmativa III falsa vez que múltuplos de 5, fora o próprio 5, não são primos. Com estas conclusões eliminamos as alternativas b e d sobrando apenas a alternativa e que é a opção correta.
Resposta: alternativa e


-BÔNUS DO BÔNUS -

Com uso da calculadora encontramo que n = 1.099.511.627.775
O qual ao fatorar encontramos:
n = 3.5².11.17.31.41.61 681