GÊNIUS_01

GÊNIUS_02

GÊNIUS - 03

TEORIA DOS CONJUNTOS

1. CONCEITO DE CONJUNTO
Conjunto tem a idéia primitiva de coleção.
Ex: a) Conjunto das vogais
A = {a, e, i, o, u}
b) Conjunto dos dias da semana
B = {segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado, domingo}
c) conjunto das cores da bandeira brasileira
C = {amarelo, azul, verde, branco}
Obs: Os conjuntos são sempre representados por letras latinas maiúsculas.

2. CONCEITO DE ELEMENTO
Elemento tem o conceito primitivo de ser cada um dos entes componentes do conjunto.
Ex: No conjunto "A" do exemplo "a" do tópico "1" caracterizado como o conjunto das vogais tem como elementos a letras: a, e, i, o, u.
Já no exemplo "b" temos o conjunto "B" que possui os elementos: segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado e domingo.
Agora no exemplo "c", conjunto das cores da bandeira brasileira, encontramos como elementos do conjunto "C": amarelo, azul, verde e branco.
Obs: Os elementos são sempre representados por letras latinas minúsculas.

3. CONCEITO DE NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO
n(X) representa o número de elementos do conjunto X. Assim nos exemplos dados no item 1 temos:
a) n(A) = 5
b) n(B) = 7
c) n(C) = 4
a) Seja um conjunto "D" formado pelos meses do ano começados pela letra "B". Neste caso D = { } o qual pelo que percebemos trata-se de um conjunto que não possui nenhum elemento pois não encontramos nenhum mês do ano começado pela letra "B" que nos permite concluir que n(D) = 0.

4. RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
Um dado ente (objeto, coisa) pode pertencer ou não a um conjunto específico que seja objeto de estudo.
Usamos o símbolo:quando queremos indicar que um dado elemento pertence a um conjunto.

Quando queremos indicar uma situação contrária a esta, ou seja, que um dado elemento não pertence a um conjunto.usamos o símbolo

5. SIMBOLOGIA BÁSICA

Pertence

Não pertence
  união
  menor ou igual
  Existe
  maior ou igual
  não existe
  intersecção
  Para todo (qualquer que seja)
  conjunto vazio
  implica
  e
  diferente
  ou
  Se e somente se
  tal que
  está contido
  menor que
  não está contido
  maior que
  contém
 de onde

6. CONCEITOS PRIMITIVOS
Lembramos que os conceitos de conjunto, elemento bem como a relação de pertinência entre elemento e conjunto são conceitos primitivos, isto é, são conceitos afirmados, escolhidos, a partir dos quais se tiram as demais conclusões.

7. MANEIRAS DE DEFINIR UM CONJUNTO

a)Enumerando individualmente todos os elementos:
A = {a, e, i, o, u}
b)Enunciando um critério de pertinência que é satisfeito por todos os elementos:
A = {x|x é vogal}

8. CONJUNTO

a)Vazio – não tem elemento
{x|x + 2 = x} =  = { }
{x|x > 2} =  = { }
b)Unitário – Um único elemento
c)Universo – Conjunto de todos os entes que são sempre considerados como elementos

9. IGUALDADE DE CONJUNTOS:

1.Definição
Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais se e somente se têm exatamente os mesmos elementos.
A = B  (x)(x  A  x  B)
2.Observação:
Dois conjuntos iguais têm o mesmo número de elementos mas a recíproca não é verdadeira.
3.Propriedades:
(P1) REFLEXIVA: A = A
(P2) SIMÉTRICA: A = B  B = A
(P3) TANMSITIVA: A = B e B = C  A = C

10. RELAÇÃO DE INCLUSÃO:

1.Definição
Um conjunto A está contido num outro conjunto B se e somente se todo elemento de A também é elemento de B.
A  B  (x)(x  A  x  B)
2.PROPRIEDADES:

(P1) REFLEXIVA: A  A
(P2) TRANSITIVA: A  B e B  C  A  C
(P3) ANT-SIMÉTRICA: A  B e B  A  A  B
(P4)   A,  A
(P5) A  U,  A

11. SUBCONJUNTO

1.DEFINIÇÃO:
Quando o conjunto A está contido em B, diz-se que o conjunto A é SUBCONJUNTO de B ou PARTE de B.

2.DEFINIÇÃO:
Dois conjuntos a e B são ditos comparáveis se a está contido em B ou B está contido em A.
Ex.: A {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4}. Como A  B, então A e B são comparáveis.

12. CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO

DEFINIÇÃO:
O conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de a, isto é:
P(A) = {x|x  A}

Ex1.: Seja A = {a, b}. Calcular P(A):
Solução:
Os subconjuntos de A são = , {a}, {b}, {a, b} então, P(A) = {, {a}, {b}, {a, b}}
Ex2.: Se A = {a, b, c}. Calcular P(A):
Os subconjuntos de A são = , {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} então,
P(A) = {, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }.

OBSERVAÇÃO:
Se o conjunto A tem n elementos, o número de subconjuntos d A é dado pela fórmula:
n(A) = 2n.

Ex3: Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, calcular o número de subconjunto de A que só tenham números ímpares.
Solução:
Seja B o subconjunto de A formado pelos elementos ímpares de A.
B = { 1, 3, 5, 7}. Como n(B) = 4, então o número de subconjuntos de B é 24 = 16. Tirando o conjunto vazio, pois o problema só pede números ímpares, logo o número de subconjuntos é 15.


OBSERVAÇÃO:
Se n(A) = n, então o número de elementos de
P(P(A)) = 22n. O número de subconjuntos de P(P(A)) = 2 elevado a 22n.
Veja que para calcular o número de elementos de P(P(A)) o 2 aparece o número de vezes de P e para calcular o número de subconjuntos de P(P(A)) o 2 aparece uma vez mais.

Ex4.: Se A = , então o número de elementos de P(P(P(A))) = 2 elevado a 220 = 2 elevado a 21 = 22 = 4 e o número de subconjuntos de P(P(P(A))) = 24 = 16.
10.OPERAÇÕES DE DOIS CONJUNTOS:

1. INTERSECÇÃO DE DOIS CONJUNTOS
a. DEFINIÇÃO:
A intersecção de dois conjuntos a e B é o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B.
A  B = {x|x  A  B}



Ex4.: A = { x|x é divisível por 3}
B = { x|x é divisível por 2}
Então A  B = {x|x é divisível por 3 e por 2}
A  B = {x|x é divisível por 6}
Observe que:
 A  B  A e A B  B
 Se A  B = , então A e B são disjuntos.

b. PROPRIEDADES:
(P1) Comutativa:
A  B = B  A
(P2) Associativa:
(A  B)  C = A  (B  C) = A  B  C
(P3) Intersecção com o conjunto vazio:
A   =   A= , A.
(P4) Idempotente:
A  A = A

2. UNIÃO (OU REUNIÃO) DE DOIS CONJUNTOS:
a.DEFINIÇÃO:
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
A  B = {x|x  A  x  B}



x5: A = { x  IN / x termina por 0 }
B = { x  IN / x termina por 5 }
Então A  B = {x  IN / x termina por 5 ou 0} ou
A  B = {x  IN / x é divisível por 5 }
Observe que: A  B  B e B  A  B.

b.PROPRIEDADES:
(P1) COMUTATIVA: A  B = B  A
(P2) ASSOCIATIVA: (A  B)  C = A  (B  C)
(P3) UNIÃO COM O CONJUNTO VAZIO:
A   =   A = A, A.
(P4) UNIÃO COM O CONJUNTO UNIVERSO:
A  U = U  A = U, A.
(P5) IDEMOTENTE: A  A = A, A.

3.DIFERENÇA DE DOIS CONJUNTOS

A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
A – B = A/B = A  B = {x|x  A  x  B}

Ex6: Seja A = {1, 2, a} e B = {1, 3, b, c} então A – B = {2, a} e B – a = {3, b, c}.
Observações:
Se A  B , então A – B = 
Se A  B =  então A – B = A e B – A = B



4.DIFERENÇA SIMÉTRICA DE DOIS CONJUNTOS:

A diferença simétrica de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a um e a somente a um dos dois conjuntos A ou B.
A  B = (A – B )  ( B – A) (I)
A  B = (A  B ) – ( A  B) (II)

Ex7.: Dados os conjuntos:
A = {1, 2, 3, 4} e B = 3, 4, 5, 6}, Calcular A  B.
Pela fórmula (I) temos: A – B = {1, 2}
B – A = {5, 6}
Então A  B = (A – B )  ( B – A) = {1, 2, 5, 6}
Pela fórmula (II) temos:
A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A  B = {3, 4}
Então:
A  B = A  B – A  B = {1, 2, 5, 6}

5.CONJUNTO COMPLEMENTAR:

Seja A um subconjunto de B. Chama-se complementar de A em relação a B ao conjunto formado pelos elementos de B que não pertencem ao conjunto A.
CBA = {x|x  B  x  A}

OBSERVAÇÃO:

Quando a complementação é uma relação ao conjunto universo U, no lugar da notação CBA, usa-se: AC ou A’ ou A.

1O Caso: Dois conjuntos disjuntos.
Representando-se por n(A) o número de elementos do conjunto A, por n(B) o número de elementos do conjunto B, e por n(A  B) o número de elementos de A  B, temos que:

n(A  B) = n(A) + n(B)



2O Caso: Dois conjuntos não disjuntos. Neste caso temos:
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)



Ex8.: Numa escola estão matriculados 530 alunos assim distribuídos: 280 estudam Matemática, 240 Física e 40 que não estudam nem matemática nem Física. Quantos alunos:
a)estudam Matemática ou Física?
b)estudam Matemática e Física?
c)Não estudam Física?









SOLUÇÃO
M – Conjunto dos alunos que estudam Matemática
F - Conjunto dos alunos que estudam Física
E - Conjunto dos alunos da escola.
Então:
a)n( M  F) = 530 – 40 = 490
b)n( M  F) = n(M) + n(F) – n(M  F)
490 = 280 + 240 – n(M  F)
n(M  F) = 520 – 490
n(M  F) = 30
c)n(E) – n(F) = 530 – 290

n(E) – n(F) = 290

3O Caso: Três conjuntos finitos:
Neste caso temos:
n( A B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) –
– n(A  C) – n(B  C) + n(A  B  C)

13. CONJUNTOS NUMÉRICOS

Em nosso estudo, utilizaremos os seguintes conjuntos numéricos:
|N = {0, 1, 2, 3, ...}: conjunto dos números naturais
IN* = |N - {0} = {1, 2, 3, ...}: conjunto dos naturais positivos
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}:conjunto dos números inteiros
Z* = Z - {0} ={..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}:conjunto dos números inteiros não – nulos
Z+ = N = {0, 1, 2, 3, ...}: conjunto dos números inteiros não – negativos
Z_ = {0, -1, -2, -3, ...}: conjunto dos números inteiros não – positivos
Z*+ = N = {1, 2, 3, ...}: conjunto dos números inteiros positivos
Z*_ = N = {-1, -2, -3, ...}: conjunto dos números inteiros negativos
Q = { : conjunto dos números racionais
Q* = { conjunto dos números racionais não – nulos
Q+ = conjunto dos racionais não - negativos
Q*+ = conjunto dos racionais positivos
Q_ = conjunto dos racionais não - positivos
Q*_ = conjunto dos racionais negativos
IR = conjunto dos números reais
I = IR - Q = conjunto dos números irracionais
Este ultimo conjunto é o dos números que podem ser escritos na forma decimal com infinitas casas decimais e não são periódicos. Verifica-se que esses números não são racionais (não podem ser obtidos pela divisão de dois inteiros). Eles são denominados números irracionais.



IR* = IR - {0} = {x  IR | x  o}: conjunto dos números reais não – nulos
Os símbolos IR+, IR*+, IR_, IR*-, têm significados análogos.





IN Z Q



Q

IR  IR = Q  Q

14. INTERVALOS

Em grande parte dos modelos matemáticos empregados na Física. Economia, Biologia, Química, etc., é usado um tipo especial de subconjunto de |R, chamado intervalo:
O conjunto dos números reais entre a e b é chamado intervalo aberto.



Indicação: {x  |R | a <> a} = ]a, +[
Conjunto dos números reais maiores ou iguais a a
Indicação: {x  |R | x  a} = [a, +[

Conjunto dos números reais menores que a
Indicação: {x  |R | x < a =" {0," b =" {1," b =" {(0,1)," r =" {(0," a =" {0," b =" {" r =" {(a," r =" {(0," a =" {" b =" {" r =" {(1," a=" [-2," b ="[1," r ="{(x," y =" 2x}" a =" {-1," b =" {" r =" {" b =" 5}." r =" {(0," y =" R(x)" r =" {" a =" {1," b =" {0," 2 =" R(1)," 4 =" R(3)," 5 =" R(4)," a =" {{1}." a =" {x" x =" 4n," b =" {" x =" n," a =" {a," b =" {b," c =" {a," p =" (A" a =" {x" b =" {" c =" {" a =" B" b =" B" c =" B" a =" B" b =" B" b =" A," a =" B" b =" " m =" {1," n =" {1," a =" {x" b =" {x" d =" divisores" m =" Múltiplos" s =" D" n =" número" a =" {x" b =" {" c =" {x" x =" a" b =" {6," a =" {4," b =" {2," p =" {cidades" r =" {pessoas" t =" {pessoas" a =" B," b =" " b =" " b =" A" a =" {1," b =" {3," c =" {1," ir =" Q" in =" IR" a =" {,"> 3. Pode-se então concluir que:
a)x  – 1 ou x > 1 d) x > 3
b)x  2 ou x < a =" B," b =" A" b =" B" a =" " a =" B" a =" {x" b =" {" b =" {2," b =" {x" b =" {x" b =" {x" b =" {x" a =" ]" b =" ]0," c =" [–1,"> 1
36.(Mack-SP) Sejam os conjuntos:
A = { x  IR | 0  x  3};
B = { x  IR | x  3};
C= { x  IR | – 2  x  3}.
O conjunto (B – A) C é:
a) d) { x  IR | – 2  x  0}.
b){ x  IR | x <> – 2}.
37.(UFRN) Dados os conjuntos
A = { x  IR ; x > 2} e
B = { x  IR ; x < b =" {x" b =" IR" b =" {3}" b =" {x" b =" " b =" {(-1," a =" {-1," b =" {" r =" {(x," y =" 2}" r =" {(x," x =" 2y}" a =" {" b =" {y" a =" {1," b =" {-1," r =" {(x," y =" x2}" 1 =" {(1," 1 =" {(1," 1 =" {(1," 1 =" {(1," 1 =" {(1," b =" A" c =" A" b =" B" a =" {1}," b=" {0," c =" {1," d =" {0," a =" {x/x" b =" {x/x" c =" {x/x" a =" {0," a =" B="" a =" {0," b =" {2," c =" {x" a =" {x" a=" {1}," b =" {0," e =" {0,1," c =" " s =" {-" m =" {x" n =" {x2" b =" A" q =" 2" q ="4" p =" 4" p =" 2" p =" {x/{-1,1}" a =" {0," b =" {20," n =" {0," b =" 20" a =" N" b =" {0," b =" N" r =" {-2," s =" {-" t =" {-2,">

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

MATEMÁTICA - PROF. CARLOS ALBERTO

1.Identifique as sentenças matemáticas:
a ) Salvador é a capital do Estado da Bahia.
b ) Sete menos três é igual a seis.
c ) O Brasil é banhado pelo oceano Atlântico.
d ) O triplo de cinco é maior que o dobro de sete.
e ) Dois mais três é igual a cinco.
2.Escreva em linguagem matemática:
a ) Cinco mais sete é igual a doze.
b ) Vinte e oito dividido pôr sete, mais um, é igual a cinco.
c ) Três elevado ao quadrado, menos quatro, é menor que nove.
d ) Trinta menos dezoito é igual a seis vezes dois.
e ) Dois terços vezes três quartos é maior que um terço elevado ao cubo.
3.Expresse em linguagem corrente cada uma das sentenças:
a ) 7 + 3 = 10 c) 8.6 + = 53
b ) 15 : 5 - 2 > 0 d) ( 5 - 7 )2 + < 6
4.Diga quais as sentenças são verdadeiras e quais são falsas:
a) - 9 + 6 = - 3 b) 35 : 7 = -
c) > 12 d)
e)
f)
5.Identifique as sentenças matemáticas abertas e fechadas:
a)2 + 7 = 9 f)
b)5x = 10 g) –10 > -4
c)32 + 1 = 7 h)
d)16 : 2 = 8 i)
e)12 – 2x = 25 j) 2z + 1 = 15
6.Especifique as variáveis das sentenças:
a ) 5x < 3 d) 4y
b ) 7x - 8y = 15 e) 12m + 3n = 27
c ) x2 + z2 = 1 f) 3p - 5q + 2r = 0
7.Determine o coeficiente das variáveis das sentenças:
a) - 2x = 6 d)
b) e) z - y = 5
c) 7 - y = 2 f)
8.Verifique se as sentenças seguintes são verdadeiras ou falsas para os valores das variáveis indicados ao lado:
a) 3x - 2 = 4, para x = 2 .
b) , para
c) x - 1 < 3, para x = 1.
2 2
d) 4y > - 2, para y = 0
e) 2x - 3y = -3, para x = 1 e y = 1
2 3
f) 5x - 4y + 6z = 13,
para x = 0, y = - 1 e z = 2.
4
9.Complete com o valor numérico de cada sentença, substituindo a variável pelo valor indicado:
a ) 2x = , para x = 3 .
2
b ) 5x + 1 = , para x = 0
c ) y - 3 = , para y = 3
d ) 7 - 4x = , para x = - 2
e ) x - y = , para x = - 4 e y = 6
2 2
f ) 2x - z = , para x= 1 e z = -2
3 2
g ) 5x + 3y = , para x = 1 e y = -4
3 4
h ) 1 y - 6 z = , para y = - 2 e z = - 2
10 5 3
10.Determine o conjunto solução das sentenças seguintes, sendo U = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9:
a) x - 1 = 5 b) x = 3 = 8
c) x - 9 = 0 d) x + 2 = 9
e) 2x - 5 = 3 f) 3x - 1 = 8
g) h)
i) x2 = 1 j) 2x - 20 = 0
11.Sendo U = Z, determine o conjunto solução de cada uma das sentenças seguintes:
a) x - 1 = 0 b) x + 5 = 8 c) 2x = 4
d) 1 - 3x = 1 e) x - 4 = - 7 f) 4x = 0
g) 5x - 3 =4 h) x2 = 9 i) x2 = 1 = 2
j) 3x2 = - 1
12.Identifique as equações:
a) x - 8 = 1 b) 3x + 2 = 0
c) 8x < 2 d) 15 = 4x - 1
e) 3 + 11 = 14 f) 7x - 1 = 2x + 9
g) x2 + 16 > 19 h) 6y2 - y = 3
i) z2 - 2z + 1 = 0 j) 62 + 82 = 102
13.Sendo U = Q, verifique:
a) se 2 é raiz da equação 7 - x = 5;
b) se - 1 é raiz da equação 3x + 2 = 1;
2
c) se - 1 é raiz da equação 5x - 3 = 2;
d) se 3 é raiz da equação 4x - 1 = 3x + 2;
e) se 0 é raiz da equação;
f)se -3 é raiz da equação

14.Resolva as equações seguintes, sendo U = Q.
a ) 2x = - 4
b ) - 4x = 2
c ) 7x = - 7
d ) 2x = 1
2
e ) 3x = 9
f ) 7x = 0
g ) 8x = 4
h ) 6x = - 3
2
i ) 5x = 1
j ) 3x = - 12
l ) 9x = 3
m ) 1 x = 2
2
n ) - 2x = 1
5
o ) 4 x = 1
5
p ) - 3 x = - 2
5
q ) - x = 7
2
r ) 3 x = - 1
2 4
s ) - x = - 2
5 3
t ) 2x = - 1
2
u ) 1 x = - 1
2
v ) 4 x = 0
5
x ) - x = 3

15. Resolva as equações, sendo U = Q:
a ) 3x - 1 = 2 b ) 4 + 2x = - 6
c ) 7x - 2 = 5 d ) 2x = 4 = 7
e ) 4x + 3 = 11 f ) 6 - 3x = 0
g ) 8x + 1 = 3 h ) 6x - 5 = - 11
i ) 2x - 5 = 1 j ) 4x + 1 = - 7
l ) 5 - 9x = 2 m ) - 3x - 8 = - 2
n ) -2x + 1 = - 4 o ) -x +3 = 1
p ) 4x - 1 = - 2 q ) - 2x + 3 = -11
r ) - 3x + 6 = 0 s ) 2x - 15 = 0

16. Resolva as equações seguintes, sendo U = Q
a ) 6x + 1 = 3x – 5 b ) 3x - 8 = 7x - 4
c ) 10 - 2x = x + 1 d ) 5x - 7x + 2 = x - 1
e ) x + 1 + 2x = 5x + 11 f ) 10x - 9 = 5x - 6
g ) 4x - 2 = - 5x + 7 h ) x + 9 = 6 - 2x
i ) - 3x - 5 = 4x + 9 j ) 2x - 1 + 6x = - 7x + 4
l ) 8x + 3 = 5x - 2 - 2x m ) 12 - 4x = 3 + 7x + 9

17. Resolva as equações seguintes sendo, sendo U = Q.
a ) 5.( 3 - x ) = 4x + 18
b ) 2.( x - 3 ) - 4.( x - 2) = - 2
c ) 5.( 3 - x ) - 2. ( x - 4 ) = 15
d ) 15 + 3.( x + 2 ) = - 7x + 2.( x + 1 )
e ) 3.( x + 1 ) + 2. 2x - 3 ) - 5.( x - 1 ) + 5
f ) 3.( x + 2 ) - 1 = 2(x + 3 ) - 7
g ) 5.( 3x - 1 )- 2 = x + 2
h ) 3.( x - 2 ) - 5.( x + 1 ) = 9
i ) 3.( 2x - 1 ) + 2.( x + 3 ) = 0
j ) 3.( x - 2 ) - 5.( x - 1 ) = - 7
l ) 2.( x + 1 ) + 5.( x- 1 ) = 11
m) 2.( 2x + 3 ) + 5.( x + 1 ) = 8 - 3.( x - 1 )
18. Resolva as equações seguintes, sendo U = Q:
a ) x + x = 10
2 3
b ) x + 1 = x - 1
4 2
c ) x - 2 - x + 1 = 3
3 4 4
d ) x - 1 - x - 3 = 6
2 3
e ) x - 1 - x + 1 = 0
2 3
f ) x + 3 = x
6 3
g ) x - 2 + 2x = 5x
3 2
h ) x - 1 + 2x - 1 = x
5 3
i ) x + 3( x - 5 ) = x + 3
3 4 2
j ) x + 3 + 3x = 4x - 6 - x + 1
2 3
l ) 2x + 1 + 8x - 1 = 6x + 4 .
2 6 2
m ) x - x - 1 + 17 = x + x + 7 .
2 3 2 4
GABARITO-


1 ) b, d, e.
2 ) a ) 5 + 7 = 12 b ) 28 : 7 + 1 = 5
c ) 32 - 4 < 9 d ) 30 - 18 = 6.2
e) 2 . 3 >  1  3
3 4 3
3 ) a ) Sete mais três é igual a dez.
b ) Quinze dividido pôr cinco, menos dois, é maior que zero.
c ) Oito vezes seis, mais raiz quadrada de vinte e cinco, é igual a cinqüenta e três.
d ) A diferença e cinco menos sete, elevada ao quadrado, mais um meio é menor que seis.
4 ) a ) V b ) F c ) F d ) V e ) V f ) V
5 ) a ) Fechada b ) Aberta c ) Fechada
d ) Fechada e ) Aberta f ) Aberta
g ) Fechada h ) Fechada i ) Aberta j ) Aberta
6 ) a ) x b ) x, y c) x e z d ) y, z
e ) m, n f ) p, q, r
7 ) a ) - 2 b ) 3 c ) - 1 d ) 1 ;3 e ) 1; - 1
4 2
f ) 2; - 3 ; 5 .
4 6
8) a) V b) F c) V d ) V e) F f ) V
9) a) 3 b) 1 c) 0 d) 15 e) - 5 f) 1 g) - 4
3
h) 3
5
10 ) a ) S =  6  b ) S =  5  c) S =  9 
d ) S =  7 e ) S = 4  f ) S =  3 
g ) S = 2  h) S =  5 i ) S =  1 
j ) S = 
11 ) a ) S =  1  b ) S =  3  c) S =  2 
d ) S =  0 e ) S =  - 3 f ) S =  0 
g ) S =   h ) S =  - 3, + 3 
i) S =  - 1,+3  j) S = 
12 ) a, b, d, f, h, i,
13 ) a ) sim b) sim c) não d) sim e) não f ) sim
14 ) a) S =  - 2 b) S =  - 1  c ) S =  - 1 
2
d ) S =  1  e ) S =  3  f ) S =  0 
4
g ) S =  1  h ) S =  - 1 
2 4
i ) S =  1  j ) S =  - 4 
5
l ) S =  1  m ) S =  4 
3
n ) S =  - 1  o ) S =  5 
10 4
p ) S =  10  q ) S =  - 14 
3
r ) S =  - 1  s) S =  10 
6 3
t ) S =  - 1  u ) S =  - 2 
4
v ) S =  0  x ) S =  - 3

15 ) a ) S =  1  b ) S =  - 5 
c ) S =  1  d ) S =  3 
2
e ) S =  2  f ) S =  2 
g ) S =  1  h ) S =  - 1 
4
i ) S =  3  j ) S =  3 
l ) S =  1  m ) S =  - 2 
3
n ) S =  5  o ) S =  2 
2
p ) S =  - 1  q ) S =  7 
4
r ) S =  2  s ) S =  15 
2
16 ) a ) S =  - 2  b ) S =  - 1 c ) S =  1
d ) S =  3  e ) S =  - 5 f ) S =  3 
5 2
g ) S =  1  h ) S =  - 1 i ) S =  - 2
4
j ) S =  1  l ) S =  2  m ) S =  0 
3
17 ) a ) S =  - 1  b ) S =  2  c ) S =  8 
3 7
d ) S =  - 19  e ) S =  3  f ) S =  - 6 
8 2
g ) S =  9  h ) S =  - 10  i ) S =  - 3 
14 8
j ) S =  3  l ) S =  2  m ) S =  0 

18 ) a ) S = 12  b )S = 8  c ) S = 20
d ) S =  33  e ) S =  5 f )S =  18 
g ) S =  - 4  h )S =  - 4  i ) S =  9 
j ) S =  3  l ) S = - 5  m )S =  0 
2