RAZÃO

"O coração tem razões que a própria razão desconhece."

Blaise Pascal.

É muito comum queremos comparar quantidades. Uma boa maneira de fazermos isto é com o uso de RAZÃO. Sem dúvida, este é o assunto mais aplicado no dia-a-dia.

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Você sabia?

A palavra razão vem de ratio, que em latim significa divisão. Daí vêm, por exemplo, as palavras rateio (de um prêmio) e racional (latim rationale). Número racional é o que se pode representar por uma divisão de inteiros.

01. Na escola onde o Caique estuda inscreveram-se 420 candidatos a alunos novatos. No entanto, o que se sabe é que só existem em 70 vagas para esta modalidade de alunos. Com essas informações é correto afirmar que:
a) A média de alunos novatos é proporcional ao número de vagas;
b) O número de candidatos para cada vaga é 6;
c) A concorrência é igual ao número de vagas.
d) a razão entre o número de candidatos e o número de vagas é 1/6.
e) A divisão entre 420 e 70 corresponde ao número de alunos interressados em estudar na escola onde o Caique estuda.

02. Maria Luiza descobriu que a razão entre o número de alunos de sua sala de aula e o número de alunos total de sua escola é 1/200. Sabendo que há 12 alunos na sala da Maria Luiza descubra o número total de alunos matriculados nessa escola.
a) 200
b) 1200
c) 2000
d) 2400
e) 300

03. A população total do estado do Ceará é de 8.097.276 habitantes, de acordo com o censo demográfico de 2005, realizado pelo IBGE. A área é de 148.825,6 km2, a densidade demográfica é de 54,40 habitantes por km2. Agora, interpretando as informações, informe qual a operação matemática utilizada no cálculo da densidade demográfica.
a) soma
b) subtração
c) multiplicação
d) divisão
e) fatoração

04. Sabendo que velocidade média é a razão entre a distância percorrida pelo móvel e tempo necessário para percorrer esta distância, calcule a velocidade média desenvolvida por um por um carro que percorreu a distância de 900 km em 12 horas.
a) 50 km/h
b) 60 km/h
c) 75 km/h
d) 80 km/h
e) 100 km/h

GABARITO

01. D
02. B
03. D
04. C

GABARITO DE PROBLEMAS DE OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS

01. 3 232 alunos
02. 135 quilômetros
03. 7 670 peças
04. 14 575 peças
05. 11h 10min
06. 775 reais
07. 3 200 620 habitantes
08. n = 0
09. 86 poltronas
10. 184 selos
11. 35 reais
12. 14 658 habitantes
13. 8 755 funcionários
14. 25min
15. 4 005
16. 501 unidades
17. 310
18. 310
19. iguais
20. 130
21. 190
22. 90
23. 405
24. 48 carteiras
25. 60 jogadores
26. 8 750 metros
27. 4h 30min
28. 295 reais
29. 3 900 reais
30. 37 872 habitantes
31. 1 900
32. 641 sacos
33. 14 horas
34. 42 alunos
35. 16 grupos
36. 8 viagens
37. 23
38. 27 anos
39. 16 caixas
40. 30 livros
41. 592
42. 1 089
43. 82 balas
44. 22

PROBLEMAS DE OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS

01. Uma escola funciona em dois turnos. No matutino há 1 407 alunos e no turno vespertino, 1825 alunos. Quantos alunos estudam nessa escola?

02. Três cidades do estado de São Paulo são ligadas por uma rodovia. De Campinas a Rio Claro são 79 quilômetros e de Rio Claro a São Carlos são 56 quilômetros. Sabendo-se que Rio Claro está entre Campinas e São Carlos, quantos quilômetros separam, por essa rodovia, Campinas de São Carlos?

* As questões 03 e 04 devem ser respondidas com base no seguinte enunciado:
“Uma empresa produziu no primeiro trimestre 6 905 peças. No segundo trimestre, a mesma empresa produziu 765 peças a mais que no primeiro trimestre”

03. .Quantas peças a empresa produziu no segundo trimestre?

04. Quantas peças a empresa produziu no semestre?

05. No carnaval, de acordo com o regulamento, cada escola de samba tem 1h 20min para desfilar. Supondo que uma escola de samba tenha iniciado o seu desfile às 9h 50minm, a que3 horas deverá se esgotar o seu tempo de desfilar?

06. Libório comprou um aparelho de som por 635 reais e as caixas de som por 128 reais. Tendo pago 12 reais pela instalação, qual a quantia que ele gastou?

07. De acordo com o censo realizado em 1991, o estado da Paraíba tem 1 546 042 homens e 1 654 578 mulheres. Qual é a população da Paraíba, segundo esse censo?

08. Qual o valor do número natural n na igualdade n + 406 = 406?

09. Um determinado avião pode transportar 295 passageiros. Em um vôo, o avião está transportando 209 passageiros. Quantas poltronas desse avião não estão ocupadas?

10. Se Carlos tem 518 selos e Henrique tem 702 selos, quantos selos Henrique tem a mais que Carlos?

11. Alcides tem 95 reais e quer comprar uma máquina fotográfica que custa 130 reais. Quantos reais faltam para ele comprar a máquina?

12. De acordo com o censo de 1980, a população de uma cidade era de 79 412 habitantes. Feito o censo de 1991, verificou-se que a população dessa cidade passou a ser de 94 070 habitantes., Qual foi o aumento da população dessa cidade nesse período de tempo?

13. Uma empresa, no final de 1 996, tinha 10 635 empregados. No início de 1 997, dispensou 1 880 funcionários. Com quantos funcionários essa empresa ficou?

14. A 4ºaula da escola onde estudo termina às 11h 15min. Já são 10h 50min. Quanto tempo falta para terminar a aula?

15. Qual é a diferença entre10 000 e 5 995?

16. Quantas unidades faltam a 499 para atingir uma unidade de milhar?

* As questões 17, 18 e 19 devem ser respondidas com base no seguinte enunciado:

“Considere os números 645 e 335.”

17. Determine a diferença entre eles.

18. Adicione 5 unidades ao primeiro número e 5 unidades ao segundo número e calcule a diferença entre os novos números que você obteve.

19. As diferenças que você obteve nas questões 17 e 18 são iguais ou diferentes?

20. Numa subtração, o subtraendo é 72 e a diferença é 58. Qual é o minuendo?

21. Qual é o minuendo de uma subtração, se o subtraendo é 95 e a diferença é 95?

22. Determine o número natural que você deve colocar no lugar de n na igualdade:
n - 72 = 18

23. Determine o número natural que você deve colocar no lugar de n na igualdade:
n - 100 = 305

24. Uma sala de aula tem 6 fileiras de carteiras. Em cada fileira há 8 carteiras. Quantas carteiras existem nessa sala?

25. Para um torneio de basquete, o professor de Educação Física organiza 5 equipes. Cada equipe é formada por 12 jogadores. Quantos jogadores vão disputar esse torneio?

26. O médico receitou ao Carlos que andasse 1 250 metros todos os dias para melhorar o seu estado físico. Quantos metros Carlos vai andar em uma semana?

27. A duração de cada aula na minha escola é de 45 minutos, Como tenho 6 aulas todos os dia, quanto tempo de aula eu tenho por dia?

28. Comprei uma bicicleta e vou pagá-la em 5 prestações iguais de 59 reais. Quanto vou pagar, no total, pela bicicleta?

29. Calcule o dobro de 1 950 reais.

30. Se uma cidade A tem 12 624 habitantes e a cidade B tem exatamente o triplo de habitantes de A, quantos habitantes tem a cidade B?

31. Qual é o quádruplo do número 475?

32. Uma produção de 3 205 quilograma de feijão deve ser colocada em sacos de 5 quilogramas. Quantos sacos serão obtidos?

33. Quantas horas há em 840 minutos?

34. Para as 8º ano de um colégio foram matriculados 336 alunos. Esses alunos devem ser repartidos igualmente em 8 salas. Quantos alunos haverá em cada sala de 8º ano?

35. Uma sala de6ºsérie tem 48alunos.o Professor de Programa de Saúde resolveu formar grupos de 3 alunos para as aulas de laboratório. Quantos grupos o professor de Programa de Saúde vai obter?

36. Um elevador pode carregar 450 quilogramas. Em determinado dia, ele deve transportar certo número de pessoas. Sabendo que todas essas pessoas pesam junt6as 3600 quilogramas, quantas viagens o elevador deve fazer para transportar todas as pessoas?

37. Determine a soma do quociente com o resto da divisão de 155 por 7.

38. Considerando-se o ano com 365 dias, quantos anos encontramos em 9855 dias?

39. Se você deseja colocar 750 livros em caixas onde cabem 45 livros cada uma, quantas caixas você conseguirá completar?

40. Ainda com relação à questão 39,quantos livros ficarão de fora das caixas?

41. Em uma divisão exata, o divisor é 37 e o quociente é 16. Qual é o dividendo?

42. Numa divisão não-exata, o divisor é 72, o quociente é 15 e o resto é 9. Qual é o valor do dividendo?

43. Você repartiu certa quantidade de balas para 5 amigos. A cada amigo couberam 16 balas e restaram ainda 2 balas para você. Quantas balas você repartiu?

44. Numa multiplicação, um dos fatores é 27 e o produto é 594. Qual é o outro fator?

GABARITO

EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE EQUAÇÃO DO 2º GRAU 01

Nesse grupo de exercícios vamos resolver as questões sobre coeficientes das equações do 2º grau.

01. Na a equação do 2º grau 3x² – 2x + 1 = 0, determine a soma de seus coeficientes.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

02. Determine a soma dos quadrados dos coeficientes da equação -x² – 3 = 0.
A) 4
B) 8
C) 9
D) 10
E) 16

03. Calcule o valor da expressão – 4ac sabendo que a e c são coeficientes da equação 5x² – 4x – 3 = 0.
A) 48
B) 60
C) 80
D) 100
E) 240

04. Sabendo que a, b e c são os coeficientes da equação x² – x – 1 = 0, determine o valor da expressão b² - 4ac
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

05. Sendo a e b coeficientes da equação 4x² + 9 = 12x, calcule o valor da expressão – b/a.
A) 3
B) – 9/4
C) 9/4
D) – 4/3
E) 4/3

06. O IFCe em 2003-1, na época CEFET-Ce, propôs a seguinte questão em seu processo seletivo: "O produto de um número inteiro positivo pela sua quarta parte é igual a 100. Calcule esse número." Ao expressar este problema em linguagem matemática nos deparamos nos deparamos com uma equação do 2º grau da qual, depois de devidamente padronizada, podemos garantir sobre seus coeficientes: A) a = 0
B) b = 0
C) c = 0
D) a = c = 0
E) b = c = 0

07. p(x) = x² – 50x + A = 0 , onde A ∈ ℜ. Para que o polinômio P(x) torne-se um trinômio quadrado perfeito, o valor de A é:
A) 25
B) 125
C) 225
D) 625
E) 1025

08. A soma dos coeficiente da equação (x - 4)² = 5 após a sua padronizaçao é:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

GABARITO

01. C
02. E
03. B
04. E
05. A
06. B
07. A
08. D

EQUAÇÕES DO 2º GRAU - AULA 03

1. RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES COMPLETAS


Para determinar o conjunto-verdade de uma equação do 2º grau recomenda-se transformá-la noutra equivalente de modo a fique positivo e na busca da adequação à fórmula reduzida ao padrão, ou seja, enfatizando que uma equação do segundo grau deve ser escrita como:


ax² + bx + c = 0

e usa-se então a conhecida fórmula de Bhaskara conforme a figura que segue:

O binômio b² - 4ac chama-se discriminante e representa-se pela letra grega Δ (lê-se delta). Assim temos:

Δ = b² - 4ac

A nossa fórmula ficará então:

Este Δ(o discriminante) pode ser positivo, negativo ou nulo. Vejamos como exemplo a equação
(x - 2)² - 1 = 0
Como se percebe, esta equação não está no formato padronizado sen, portanto, necesário a sua devida organização e, para tanto vamos começar efetuando o quadrado da diferença indicada.
x² - 2.x.2 + 2² - 1 = 0
x² - 4x + 4 - 1 = 0
x² - 4x + 3 = 0
Agora sim, a equção que temos está padronizada e pronta para identificarmos os seus coeficientees que são: a = 1, b = - 4 e c = 3
Podemos, então,substituir os valores do coeficientes na fórmula do cálculo do Δ
Lembrando que : Δ = b² - 4ac
Δ = (-4)² - 4.1.3
Δ = 16 - 12
Δ = 4
e, como vemos Δ > 0
Estamos prontos para substituir na fórmula reduzida de Bhaskara:

Lembrando a fórmula:

Substituindo os coeficientes fica:

efetuando as operaçõe indicadas tmos:

=> =>

=> =>

=> =>

=> =>

=> =>

Logo o conjunto-verdade da equação é dado por:
V = {1, 3}

Neste exemplo a equação deu origem a dois resultados (2 raízes) possíveis. Nem sempre é assim.
Conforme seja o sinal do discrimenante, teremos três casos para interpretar. Em seguida veremos cada um destes casos.

I. No caso de Δ > 0

Se o discriminante é maior do que zero(positivo), como aconteceu no exemplo que acabamos de estudar, é possível extrair a raiz quadrada de Δ com resultado positivo e não nulo, o que faz com que a equação tenha duas raízes reais.


EXERCÍCIO RESOLVIDO

Resolver a equação 3x² - 7x + 2 = 0

Solução

Tem-se os coeficientes com os valores: a = 3; b = -7; c = 2

Calculando o valo de Δ temos:

Substituindo na fórmula temos:

Daí V = {1/3,2}


II. N0 caso de Δ = 0

Quando o discriminante é nulo tem-se que Δ = 0 fazendo com que a fórmula para o cálculo da raízes da equação do 2º grau fique reduzida a com resultado único. Concluímos então que quando Δ = 0 a equação do 2º grau terá apenas uma raiz real ( ou raiz dupla) e o conjunto-verdade ficará

V = {-b/2a}


EXERCÍCIO RESOLVIDO

Resolver a equação x² - 4x +4 = 0

Solução

Temos que:
a = 1; b = -4; c = 4
Vamos calcular o discriminante
Δ = (-4)² - 4.1.4 => Δ = 16 - 16 => Δ = 0


Substituindo na fórmula teremos:

x = -(-4)/(2.1)

E o conjunto-verdade será:

V = {2}


III. No caso de Δ < 0

Sendo o discriminante negativo, não podemos extrair a raiz quadrada quando o conjunto universo é o conjunto dos reais. Sendo assim, toda equação do 2º grau com discriminante menor do que zero não admite nenhuma raiz real. Conseqüentemente o conjunto-verdade será vazio.

V = { }

Exercícios propostos sobre equações do 2º grau completas 01

ESTUDAR AULA 04


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EQUAÇÕES DO 2º GRAU - GABAITO 02

a) {0,3}
b) {0,7}
c) {0,3}
d) {0,-6}
e) {0,-3}
f) {0,8)
g) {0,4}
h) {0,2}
i) {0,5}
j) {0,2}

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Resolver as equações da forma ax2 + bx = 0

a) 4x² - 12x = 0
b) 2x² - 14x = 0
c) 5x² - 15x = 0
d) 3x² + 18x = 0
e) 7x² + 21x = 0
f) 9x² - 72x = 0
g) x² - 4x = 0
h) x(x + 3) = 5x
i) 2x² = 10x
j) (x + 1)(x - 3) = -3

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