a){-4, 4}
b)∅
c){-4, 4}
d){-1, 1}
e){-3/2, 3/2}
f){-1/6, 1/6}
g){-4/3, 4/3}
h){-5/4, 5/4}
i) ∅
j) {-3, 3}
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quarta-feira, 30 de dezembro de 2009
Resolver as equações da forma ax2 + c = 0
a) 4x2 - 64 = 0
b) 5 x2 + 5 = 0
c) -3 x2 + 48 = 0
d) x2 - 1 = 0
e) 4 x2 - 9 = 0
f) 36 x2 - 1 = 0
g) 9 x2 - 16 = 0
h) 25 - 16 x2 = 0
i) 1 + 4 x2 = 0
j) 45 - 5x2 = 0
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b) 5 x2 + 5 = 0
c) -3 x2 + 48 = 0
d) x2 - 1 = 0
e) 4 x2 - 9 = 0
f) 36 x2 - 1 = 0
g) 9 x2 - 16 = 0
h) 25 - 16 x2 = 0
i) 1 + 4 x2 = 0
j) 45 - 5x2 = 0
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EQUAÇÕES DO 2º GRAU - AULA 02
1. INTRODUÇÃO
EQUAÇÕES COMPLETAS E INCOMPLETAS
1. INTRODUÇÃO
Na aula anterior tratamos da identificação das equações do 2º grau. Neste momento trataremos da classificação das equações do segundo grau como incompletas e completas, reconhecer estes tipos bem como resolver as equações do 2º grau incompleta, em seus 3 casos diferentes. Já a resolução das equações do segundo grau completa será assunto das aulas subsequantes.
2. CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU
2.1- Uma equação do 2º grau é completa quando, reduzida à forma geral, tem todos os coeficientes diferentes de zero.
2.2- Chama-se incompleta se pelo menos um de seus coeficientes, com exceção de a, é igual a zero.
3. TIPOS DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS
As equações incompletas são dos tipos seguintes:
◊ ax2 + bx = 0 quando c = 0
◊ ax2 + c = 0 quando b = 0
◊ ax2 = 0 quando b = c = 0
4. RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES INCOMPLETAS
Resolver uma equação é achar o seu conjunto-verdade, soluções ou raízes. No campo real o seu conjunto-verdade pode ter um elemento, dois ou mesmo ser vazio.
É importante lembrar que uma raiz (ou solução) de uma equação é um número que, ao ser colocado no lugar de da variável/incógnita, torna a igualdade(sentença) correta.
◊ 4.1- Equação da forma ax2 + c = 0
Lembrando que estas equações acontecem quando o coeficiente b = 0.
Solução
ax2 + c = 0
Transportando a constante “c” para o segundo membro teremos,
ax2 = - c
e dividindo pelo coeficiente “a” resulta:
x2 = - c/a
Se o segundo membro é constituído por um número positivo o conjunto-verdade terá dois elementos os quais serão números reais relativos simétricos.
Veja que, extraindo a raízes quadradas, teremos:
x = ±√(-c/a)
Fazendo, para simplificar, k = - √(-c/a)
teremos: V = { - k , + k }
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Exemplo 1:Resolver a equação 5x2- 20 = 0.
Solução
Transportando a constante(o termo independente) para o 2º membro da equação temos:
5x2 = 20
e dividindo pelo coeficiente de x2, temos:
x2 = 20/5
x2 = 4
x = ± √4
donde x = ± 2
Logo V = { - 2, + 2}
Observação: É importante salientar que as soluções de uma equação desse tipo nem sempre são números inteiros.
Veja a equação que segue para exemplificar esta observação:
5x2 - 50 = 0
5x2 = 50
x2 = 50 / 5
x2 = 10
x = ±√10
V = { - √10, √10}
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1
◊ 4.2- Equação da forma ax2 + bx = 0
Solução
Colocando x em evidência, teremos:
x(ax + b) = 0
Aplicando a lei do cancelamento do produto, resulta
x = 0 ou ax + b = 0
A solução x = 0 é um elemento do conjunto-verdade da equação. Da segunda, tiramos:
ax = - b => x = - b/a
Logo, V = {0, -b/a}
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Resolver a equação 2x2 - 10x = 0
Fatorando, teremos:
2x(x - 5) = 0 donde
⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0
ou
x - 5 = 0 ⇒ x = 5
Concluímos então que V = {0, 5}
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 2
◊ 4.3- Equação da forma ax2 = 0
Passando a para o segundo membro da equação temos
x2 = 0/a ⇒
x2 = 0 ⇒
x = ± √0 ⇒
x = ± 0 ⇒
x = 0 Logo,
V = {0}
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EQUAÇÕES DO 2º GRAU - AULA 01
1. INTRODUÇÃO
Não é raro, ao equacionarmos um problema, obtermos uma equação com a incógnita aparecendo elevada ao quadrado. Estas são as chamadas equações do 2º grau.
Eis alguns exemplos:
👉 x2 - 20 = 0
👉4x2 = 100x
👉x2 - 8x + 15 = 0
Observe que em todas as expressões aparece o termo x com o expoente 2.
2. DEFINIÇÃO
Chama-se equação do 2º grau a uma incógnita a toda sentença aberta que é expressa ou pode ser colocada sob a forma
ax2 + bx + c = 0
O número a é o coeficiente de x2.
O número b é o coeficiente de x.
O número c é o termo independente.
onde a é diferente 0 porque, nesse caso, o termo x2 seria eliminado e b, c, são números reais quaiquer.
Na hipótese de acontecer que a = b = c = 0 estaremos diante de um polinômio do segundo grau nulo.
Exemplo 1:
3x2 - 15x + 18 = 0
A expressão acima é uma equação do 2o grau em que identificamos os coeficientes:
a = 3,
b = - 15 e
c = 18
2. OBSERVAÇÕES
A relação (fórmula) ax2 + bx + c = 0
chama-se forma normal ou geral e as letras a, b, c, são os coeficientes ou parâmetros.
Os coeficientes podem ser numéricos ou literais.
Exemplo 2:
Na equação 2x2 + 3x - 8 = 0
temos que identificar os coeficientes:
a = 2,
b = 3 e
c = - 8
Exemplo 3:
Na equação (m-1)x2 + (2m + 3)x + m2 - 6m + 8 = 0
temos que estão como coeficientes:
a= (m - 1),
b= (2m + 3) e
c = (m2 - 6m + 8)
E, neste caso, a = m - 1 deve ser diferente de zero com o que conclui-se que m deve ser diferente de 1.
Recomenda-se que, nas resoluções das equações do 2º grau se trabalhe com o coeficiente de x2 sempre positivo. Caso não o seja, facilitará suas contas, multiplicando-se toda a equação por (- 1) e seus termos mudarão de sinal.
O termo c é chamado de termo conhecido, termo independente ou constante.
Quando os coeficientes são números a equação se diz numérica. Se estes são letras as equações se denominam literais.
Muitas situações aparecerão em que as equações não aparecerão arrumadinhas, bonitinhas. Nestas circunstâncias é necessário reorganizar de modo a se obter uma equação no formato padrão (ax2 + bx + c = 0).
Exemplo 4:
Veja que a equação (2x + 1)² - 5(x - 1) = 0 não está no formato padrão. Para arrumá-la lançamos mão dos conhecimentos de produtos notáveis, ou seja, desenvolvemos o quadrado no primeiro termo e aplicamos a propriedade distributiva no segundo, ficando:
(2x)² + 2(2x)(1) + (1)²- 5(x) - 5(-1) = 0
desenvolvendo as operações indicadas teremos:
4x² + 4x + 1- 5x + 5 = 0 agrupando os termos semelhantes temos:
4x² - x + 6 = 0 que está no formato padrão como queríamos.
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segunda-feira, 24 de agosto de 2009
TESTE 01 DE MATEMÁTICA
1.(UF-GO) Nas sentenças abaixo, assinalam-se com V as sentenças verdadeiras e com F, as falsas:
I){2} {0, 1, 2}
II) {5, 6, 7}
III) {, 4}
IV)5 {3, {5, 1}, 4}
V){5, 6} {5, 6, 7}
Nesta ordem a alternativa correta é:
a)F, V, V, F, F c) F, V, V, F, V
b)V, F, F, V, F d) V, F, F, V, V
2.(Mack-SP) Sendo A = {{1}. {2}, {1, 2}} podemos afirmar que:
a){1} A d)2 A
b){1} A e) {1} {2} A
c){1} {2} A
3.(Vunesp) Se A = {x IN | x = 4n, com n IN} e B = { x IN* | 20/x = n, com n IN}, então o número de elementos de A B é:
a) 3 b) 2 c) 1 d) 0
e) impossível de determinar
4.A região hachurada do diagrama abaixo corresponde ao conjunto:
a)A B
b)A – B
c)A B
d)B – A
5.(Osec-SP) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} e C = {a, c, d, e} então o conjunto P = (A – C) (C – B) (A B C) é:
a){a, b, c, e} d) {b, d, e}
b){a, c, e} e) n.d.a.
c)A
6.(UF-Viçosa) Dados os conjuntos:
A = {x | x é número par}
B = { x | x é número inteiro}
C = { x | x é número ímpar}
A afirmativa errada é:
a)(B C) A = B d) (A C) B = B
b)(A B) C = B e) (A B) C) ) = B
c)(B C) A = B
7.Se A B = B e A B = A, então:
a)A B b) A = B c) B A d) A – B =
8.(Acafe-SC) Se M = {1, 2, 3, 4, 5} e N são conjuntos tais que M N = {1, 2, 3}, então o conjunto N é:
a)vazio d) {1, 2, 3}
b)impossível de ser determinado e) {1, 2, 3, 4, 5}
c){4, 5}
9. (FGV-SP) Seja A um conjunto com 8 elementos. O número total de subconjuntos de A é:
a) 8 b) 256 c) 6 d) 128 e) 100
10.(Fatec-SP) Se A = {x | x Z, - 3 < x 1} e B = {x | x IN, x2 < 16}, então (A B) – (A B) é o conjunto:
a){- 2, - 1, 0, 1, 2, 3} d) {0, 1, 2, 3}
b){- 2, - 1, 2, 3} e) {0, 1}
c){- 3, - 2, - 1, 0}
I){2} {0, 1, 2}
II) {5, 6, 7}
III) {, 4}
IV)5 {3, {5, 1}, 4}
V){5, 6} {5, 6, 7}
Nesta ordem a alternativa correta é:
a)F, V, V, F, F c) F, V, V, F, V
b)V, F, F, V, F d) V, F, F, V, V
2.(Mack-SP) Sendo A = {{1}. {2}, {1, 2}} podemos afirmar que:
a){1} A d)2 A
b){1} A e) {1} {2} A
c){1} {2} A
3.(Vunesp) Se A = {x IN | x = 4n, com n IN} e B = { x IN* | 20/x = n, com n IN}, então o número de elementos de A B é:
a) 3 b) 2 c) 1 d) 0
e) impossível de determinar
4.A região hachurada do diagrama abaixo corresponde ao conjunto:
a)A B
b)A – B
c)A B
d)B – A
5.(Osec-SP) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} e C = {a, c, d, e} então o conjunto P = (A – C) (C – B) (A B C) é:
a){a, b, c, e} d) {b, d, e}
b){a, c, e} e) n.d.a.
c)A
6.(UF-Viçosa) Dados os conjuntos:
A = {x | x é número par}
B = { x | x é número inteiro}
C = { x | x é número ímpar}
A afirmativa errada é:
a)(B C) A = B d) (A C) B = B
b)(A B) C = B e) (A B) C) ) = B
c)(B C) A = B
7.Se A B = B e A B = A, então:
a)A B b) A = B c) B A d) A – B =
8.(Acafe-SC) Se M = {1, 2, 3, 4, 5} e N são conjuntos tais que M N = {1, 2, 3}, então o conjunto N é:
a)vazio d) {1, 2, 3}
b)impossível de ser determinado e) {1, 2, 3, 4, 5}
c){4, 5}
9. (FGV-SP) Seja A um conjunto com 8 elementos. O número total de subconjuntos de A é:
a) 8 b) 256 c) 6 d) 128 e) 100
10.(Fatec-SP) Se A = {x | x Z, - 3 < x 1} e B = {x | x IN, x2 < 16}, então (A B) – (A B) é o conjunto:
a){- 2, - 1, 0, 1, 2, 3} d) {0, 1, 2, 3}
b){- 2, - 1, 2, 3} e) {0, 1}
c){- 3, - 2, - 1, 0}
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