EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE EQUAÇÃO DO 2º GRAU 01

Nesse grupo de exercícios vamos resolver as questões sobre coeficientes das equações do 2º grau.

01. Na a equação do 2º grau 3x² – 2x + 1 = 0, determine a soma de seus coeficientes.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

02. Determine a soma dos quadrados dos coeficientes da equação -x² – 3 = 0.
A) 4
B) 8
C) 9
D) 10
E) 16

03. Calcule o valor da expressão – 4ac sabendo que a e c são coeficientes da equação 5x² – 4x – 3 = 0.
A) 48
B) 60
C) 80
D) 100
E) 240

04. Sabendo que a, b e c são os coeficientes da equação x² – x – 1 = 0, determine o valor da expressão b² - 4ac
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

05. Sendo a e b coeficientes da equação 4x² + 9 = 12x, calcule o valor da expressão – b/a.
A) 3
B) – 9/4
C) 9/4
D) – 4/3
E) 4/3

06. O IFCe em 2003-1, na época CEFET-Ce, propôs a seguinte questão em seu processo seletivo: "O produto de um número inteiro positivo pela sua quarta parte é igual a 100. Calcule esse número." Ao expressar este problema em linguagem matemática nos deparamos nos deparamos com uma equação do 2º grau da qual, depois de devidamente padronizada, podemos garantir sobre seus coeficientes: A) a = 0
B) b = 0
C) c = 0
D) a = c = 0
E) b = c = 0

07. p(x) = x² – 50x + A = 0 , onde A ∈ ℜ. Para que o polinômio P(x) torne-se um trinômio quadrado perfeito, o valor de A é:
A) 25
B) 125
C) 225
D) 625
E) 1025

08. A soma dos coeficiente da equação (x - 4)² = 5 após a sua padronizaçao é:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

GABARITO

01. C
02. E
03. B
04. E
05. A
06. B
07. A
08. D

EQUAÇÕES DO 2º GRAU - AULA 03

1. RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES COMPLETAS


Para determinar o conjunto-verdade de uma equação do 2º grau recomenda-se transformá-la noutra equivalente de modo a fique positivo e na busca da adequação à fórmula reduzida ao padrão, ou seja, enfatizando que uma equação do segundo grau deve ser escrita como:


ax² + bx + c = 0

e usa-se então a conhecida fórmula de Bhaskara conforme a figura que segue:

O binômio b² - 4ac chama-se discriminante e representa-se pela letra grega Δ (lê-se delta). Assim temos:

Δ = b² - 4ac

A nossa fórmula ficará então:

Este Δ(o discriminante) pode ser positivo, negativo ou nulo. Vejamos como exemplo a equação
(x - 2)² - 1 = 0
Como se percebe, esta equação não está no formato padronizado sen, portanto, necesário a sua devida organização e, para tanto vamos começar efetuando o quadrado da diferença indicada.
x² - 2.x.2 + 2² - 1 = 0
x² - 4x + 4 - 1 = 0
x² - 4x + 3 = 0
Agora sim, a equção que temos está padronizada e pronta para identificarmos os seus coeficientees que são: a = 1, b = - 4 e c = 3
Podemos, então,substituir os valores do coeficientes na fórmula do cálculo do Δ
Lembrando que : Δ = b² - 4ac
Δ = (-4)² - 4.1.3
Δ = 16 - 12
Δ = 4
e, como vemos Δ > 0
Estamos prontos para substituir na fórmula reduzida de Bhaskara:

Lembrando a fórmula:

Substituindo os coeficientes fica:

efetuando as operaçõe indicadas tmos:

=> =>

=> =>

=> =>

=> =>

=> =>

Logo o conjunto-verdade da equação é dado por:
V = {1, 3}

Neste exemplo a equação deu origem a dois resultados (2 raízes) possíveis. Nem sempre é assim.
Conforme seja o sinal do discrimenante, teremos três casos para interpretar. Em seguida veremos cada um destes casos.

I. No caso de Δ > 0

Se o discriminante é maior do que zero(positivo), como aconteceu no exemplo que acabamos de estudar, é possível extrair a raiz quadrada de Δ com resultado positivo e não nulo, o que faz com que a equação tenha duas raízes reais.


EXERCÍCIO RESOLVIDO

Resolver a equação 3x² - 7x + 2 = 0

Solução

Tem-se os coeficientes com os valores: a = 3; b = -7; c = 2

Calculando o valo de Δ temos:

Substituindo na fórmula temos:

Daí V = {1/3,2}


II. N0 caso de Δ = 0

Quando o discriminante é nulo tem-se que Δ = 0 fazendo com que a fórmula para o cálculo da raízes da equação do 2º grau fique reduzida a com resultado único. Concluímos então que quando Δ = 0 a equação do 2º grau terá apenas uma raiz real ( ou raiz dupla) e o conjunto-verdade ficará

V = {-b/2a}


EXERCÍCIO RESOLVIDO

Resolver a equação x² - 4x +4 = 0

Solução

Temos que:
a = 1; b = -4; c = 4
Vamos calcular o discriminante
Δ = (-4)² - 4.1.4 => Δ = 16 - 16 => Δ = 0


Substituindo na fórmula teremos:

x = -(-4)/(2.1)

E o conjunto-verdade será:

V = {2}


III. No caso de Δ < 0

Sendo o discriminante negativo, não podemos extrair a raiz quadrada quando o conjunto universo é o conjunto dos reais. Sendo assim, toda equação do 2º grau com discriminante menor do que zero não admite nenhuma raiz real. Conseqüentemente o conjunto-verdade será vazio.

V = { }

Exercícios propostos sobre equações do 2º grau completas 01

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EQUAÇÕES DO 2º GRAU - GABAITO 02

a) {0,3}
b) {0,7}
c) {0,3}
d) {0,-6}
e) {0,-3}
f) {0,8)
g) {0,4}
h) {0,2}
i) {0,5}
j) {0,2}

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Resolver as equações da forma ax2 + bx = 0

a) 4x² - 12x = 0
b) 2x² - 14x = 0
c) 5x² - 15x = 0
d) 3x² + 18x = 0
e) 7x² + 21x = 0
f) 9x² - 72x = 0
g) x² - 4x = 0
h) x(x + 3) = 5x
i) 2x² = 10x
j) (x + 1)(x - 3) = -3

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EQUAÇÕES DO 2º GRAU - GABAITO 01

a){-4, 4}
b)∅
c){-4, 4}
d){-1, 1}
e){-3/2, 3/2}
f){-1/6, 1/6}
g){-4/3, 4/3}
h){-5/4, 5/4}
i) ∅
j) {-3, 3}
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Resolver as equações da forma ax2 + c = 0

a) 4x² - 64 = 0
b) 5 x² + 5 = 0
c) -3 x² + 48 = 0
d) x² - 1 = 0
e) 4 x² - 9 = 0
f) 36 x² - 1 = 0
g) 9 x² - 16 = 0
h) 25 - 16 x² = 0
i) 1 + 4 x² = 0
j) 45 - 5x² = 0

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EQUAÇÕES DO 2º GRAU - AULA 02

1. INTRODUÇÃO

EQUAÇÕES COMPLETAS E INCOMPLETAS

1. INTRODUÇÃO

Na aula anterior tratamos da identificação das equações do 2º grau. Neste momento trataremos da classificação das equações do segundo grau como incompletas e completas, reconhecer estes tipos bem como resolver as equações do 2º grau incompleta, em seus 3 casos diferentes. Já a resolução das equações do segundo grau completa será assunto das aulas subsequantes.

2. CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU

2.1- Uma equação do 2º grau é completa quando, reduzida à forma geral, tem todos os coeficientes diferentes de zero.

2.2- Chama-se incompleta se pelo menos um de seus coeficientes, com exceção de a, é igual a zero.

3. TIPOS DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS

As equações incompletas são dos tipos seguintes:

◊ ax² + bx = 0 quando c = 0
◊ ax² + c = 0 quando b = 0
◊ ax² = 0 quando b = c = 0


4. RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES INCOMPLETAS

Resolver uma equação é achar o seu conjunto-verdade, soluções ou raízes. No campo real o seu conjunto-verdade pode ter um elemento, dois ou mesmo ser vazio.

É importante lembrar que uma raiz (ou solução) de uma equação é um número que, ao ser colocado no lugar de da variável/incógnita, torna a igualdade(sentença) correta.

◊ 4.1- Equação da forma ax² + c = 0
Lembrando que estas equações acontecem quando o coeficiente b = 0.

Solução
ax² + c = 0
Transportando a constante “c” para o segundo membro teremos,
ax² = - c
e dividindo pelo coeficiente “a” resulta:

x² = - c/a

Se o segundo membro é constituído por um número positivo o conjunto-verdade terá dois elementos os quais serão números reais relativos simétricos.
Veja que, extraindo a raízes quadradas, teremos:

x = ±√(-c/a)

Fazendo, para simplificar, k = - √(-c/a)
teremos: V = { - k , + k }

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Exemplo 1:Resolver a equação 5x²- 20 = 0.
Solução

Transportando a constante(o termo independente) para o 2º membro da equação temos:
5x² = 20
e dividindo pelo coeficiente de x², temos:
x² = 20/5
x² = 4
x = ± √4
donde x = ± 2
Logo V = { - 2, + 2}

Observação: É importante salientar que as soluções de uma equação desse tipo nem sempre são números inteiros.

Veja a equação que segue para exemplificar esta observação:

5x² - 50 = 0
5x² = 50
x² = 50 / 5
x² = 10
x = ±√10
V = { - √10, √10}

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1


◊ 4.2- Equação da forma ax² + bx = 0

Solução

Colocando x em evidência, teremos:
x(ax + b) = 0
Aplicando a lei do cancelamento do produto, resulta
x = 0 ou ax + b = 0
A solução x = 0 é um elemento do conjunto-verdade da equação. Da segunda, tiramos:
ax = - b => x = - b/a
Logo, V = {0, -b/a}


EXERCÍCIO RESOLVIDO

Resolver a equação 2x² - 10x = 0
Fatorando, teremos:
2x(x - 5) = 0 donde
⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0
ou
x - 5 = 0 ⇒ x = 5

Concluímos então que V = {0, 5}

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 2


◊ 4.3- Equação da forma ax² = 0

Passando a para o segundo membro da equação temos

x² = 0/a ⇒


x² = 0 ⇒

x = ± √0 ⇒
x = ± 0 ⇒
x = 0 Logo,
V = {0}

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE EQUAÇÃO DO 2º GRAU 02

EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE EQUAÇÃO DO 2º GRAU 02

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EQUAÇÕES DO 2º GRAU - AULA 01

1. INTRODUÇÃO

Não é raro, ao equacionarmos um problema, obtermos uma equação com a incógnita aparecendo elevada ao quadrado. Estas são as chamadas equações do 2º grau.

Eis alguns exemplos:

👉 x² - 20 = 0
👉4x² = 100x
👉x² - 8x + 15 = 0

Observe que em todas as expressões aparece o termo x com o expoente 2.

2. DEFINIÇÃO

Chama-se equação do 2º grau a uma incógnita a toda sentença aberta que é expressa ou pode ser colocada sob a forma

TESTE 01 DE MATEMÁTICA

1.(UF-GO) Nas sentenças abaixo, assinalam-se com V as sentenças verdadeiras e com F, as falsas:

I){2}  {0, 1, 2}
II)  {5, 6, 7}
III)  {, 4}
IV)5  {3, {5, 1}, 4}
V){5, 6}  {5, 6, 7}

Nesta ordem a alternativa correta é:
a)F, V, V, F, F c) F, V, V, F, V
b)V, F, F, V, F d) V, F, F, V, V
2.(Mack-SP) Sendo A = {{1}. {2}, {1, 2}} podemos afirmar que:
a){1}  A d)2  A
b){1}  A e) {1}  {2}  A
c){1}  {2}  A
3.(Vunesp) Se A = {x  IN | x = 4n, com n  IN} e B = { x  IN* | 20/x = n, com n  IN}, então o número de elementos de A  B é:
a) 3 b) 2 c) 1 d) 0
e) impossível de determinar
4.A região hachurada do diagrama abaixo corresponde ao conjunto:
a)A  B
b)A – B
c)A  B
d)B – A
5.(Osec-SP) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} e C = {a, c, d, e} então o conjunto P = (A – C)  (C – B)  (A  B  C) é:
a){a, b, c, e} d) {b, d, e}
b){a, c, e} e) n.d.a.
c)A
6.(UF-Viçosa) Dados os conjuntos:
A = {x | x é número par}
B = { x | x é número inteiro}
C = { x | x é número ímpar}
A afirmativa errada é:
a)(B  C)  A = B d) (A  C)  B = B
b)(A  B)  C = B e) (A  B)  C) ) = B
c)(B  C)  A = B
7.Se A  B = B e A  B = A, então:
a)A  B b) A = B c) B  A d) A – B = 
8.(Acafe-SC) Se M = {1, 2, 3, 4, 5} e N são conjuntos tais que M  N = {1, 2, 3}, então o conjunto N é:
a)vazio d) {1, 2, 3}
b)impossível de ser determinado e) {1, 2, 3, 4, 5}
c){4, 5}
9. (FGV-SP) Seja A um conjunto com 8 elementos. O número total de subconjuntos de A é:
a) 8 b) 256 c) 6 d) 128 e) 100
10.(Fatec-SP) Se A = {x | x  Z, - 3 < x  1} e B = {x | x  IN, x2 < 16}, então (A  B) – (A  B) é o conjunto:
a){- 2, - 1, 0, 1, 2, 3} d) {0, 1, 2, 3}
b){- 2, - 1, 2, 3} e) {0, 1}
c){- 3, - 2, - 1, 0}

GÊNIUS 05

GÊNIUS 04

GÊNIUS_01

GÊNIUS_02

GÊNIUS - 03

TEORIA DOS CONJUNTOS

1. CONCEITO DE CONJUNTO
Conjunto tem a idéia primitiva de coleção.
Ex: a) Conjunto das vogais
A = {a, e, i, o, u}
b) Conjunto dos dias da semana
B = {segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado, domingo}
c) conjunto das cores da bandeira brasileira
C = {amarelo, azul, verde, branco}
Obs: Os conjuntos são sempre representados por letras latinas maiúsculas.

2. CONCEITO DE ELEMENTO
Elemento tem o conceito primitivo de ser cada um dos entes componentes do conjunto.
Ex: No conjunto "A" do exemplo "a" do tópico "1" caracterizado como o conjunto das vogais tem como elementos a letras: a, e, i, o, u.
Já no exemplo "b" temos o conjunto "B" que possui os elementos: segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado e domingo.
Agora no exemplo "c", conjunto das cores da bandeira brasileira, encontramos como elementos do conjunto "C": amarelo, azul, verde e branco.
Obs: Os elementos são sempre representados por letras latinas minúsculas.

3. CONCEITO DE NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO
n(X) representa o número de elementos do conjunto X. Assim nos exemplos dados no item 1 temos:
a) n(A) = 5
b) n(B) = 7
c) n(C) = 4
a) Seja um conjunto "D" formado pelos meses do ano começados pela letra "B". Neste caso D = { } o qual pelo que percebemos trata-se de um conjunto que não possui nenhum elemento pois não encontramos nenhum mês do ano começado pela letra "B" que nos permite concluir que n(D) = 0.

4. RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
Um dado ente (objeto, coisa) pode pertencer ou não a um conjunto específico que seja objeto de estudo.
Usamos o símbolo:quando queremos indicar que um dado elemento pertence a um conjunto.

Quando queremos indicar uma situação contrária a esta, ou seja, que um dado elemento não pertence a um conjunto.usamos o símbolo

5. SIMBOLOGIA BÁSICA

Pertence

Não pertence
  união
  menor ou igual
  Existe
  maior ou igual
  não existe
  intersecção
  Para todo (qualquer que seja)
  conjunto vazio
  implica
  e
  diferente
  ou
  Se e somente se
  tal que
  está contido
  menor que
  não está contido
  maior que
  contém
 de onde

6. CONCEITOS PRIMITIVOS
Lembramos que os conceitos de conjunto, elemento bem como a relação de pertinência entre elemento e conjunto são conceitos primitivos, isto é, são conceitos afirmados, escolhidos, a partir dos quais se tiram as demais conclusões.

7. MANEIRAS DE DEFINIR UM CONJUNTO

a)Enumerando individualmente todos os elementos:
A = {a, e, i, o, u}
b)Enunciando um critério de pertinência que é satisfeito por todos os elementos:
A = {x|x é vogal}

8. CONJUNTO

a)Vazio – não tem elemento
{x|x + 2 = x} =  = { }
{x|x > 2} =  = { }
b)Unitário – Um único elemento
c)Universo – Conjunto de todos os entes que são sempre considerados como elementos

9. IGUALDADE DE CONJUNTOS:

1.Definição
Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais se e somente se têm exatamente os mesmos elementos.
A = B  (x)(x  A  x  B)
2.Observação:
Dois conjuntos iguais têm o mesmo número de elementos mas a recíproca não é verdadeira.
3.Propriedades:
(P1) REFLEXIVA: A = A
(P2) SIMÉTRICA: A = B  B = A
(P3) TANMSITIVA: A = B e B = C  A = C

10. RELAÇÃO DE INCLUSÃO:

1.Definição
Um conjunto A está contido num outro conjunto B se e somente se todo elemento de A também é elemento de B.
A  B  (x)(x  A  x  B)
2.PROPRIEDADES:

(P1) REFLEXIVA: A  A
(P2) TRANSITIVA: A  B e B  C  A  C
(P3) ANT-SIMÉTRICA: A  B e B  A  A  B
(P4)   A,  A
(P5) A  U,  A

11. SUBCONJUNTO

1.DEFINIÇÃO:
Quando o conjunto A está contido em B, diz-se que o conjunto A é SUBCONJUNTO de B ou PARTE de B.

2.DEFINIÇÃO:
Dois conjuntos a e B são ditos comparáveis se a está contido em B ou B está contido em A.
Ex.: A {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4}. Como A  B, então A e B são comparáveis.

12. CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO

DEFINIÇÃO:
O conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de a, isto é:
P(A) = {x|x  A}

Ex1.: Seja A = {a, b}. Calcular P(A):
Solução:
Os subconjuntos de A são = , {a}, {b}, {a, b} então, P(A) = {, {a}, {b}, {a, b}}
Ex2.: Se A = {a, b, c}. Calcular P(A):
Os subconjuntos de A são = , {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} então,
P(A) = {, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }.

OBSERVAÇÃO:
Se o conjunto A tem n elementos, o número de subconjuntos d A é dado pela fórmula:
n(A) = 2n.

Ex3: Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, calcular o número de subconjunto de A que só tenham números ímpares.
Solução:
Seja B o subconjunto de A formado pelos elementos ímpares de A.
B = { 1, 3, 5, 7}. Como n(B) = 4, então o número de subconjuntos de B é 24 = 16. Tirando o conjunto vazio, pois o problema só pede números ímpares, logo o número de subconjuntos é 15.


OBSERVAÇÃO:
Se n(A) = n, então o número de elementos de
P(P(A)) = 22n. O número de subconjuntos de P(P(A)) = 2 elevado a 22n.
Veja que para calcular o número de elementos de P(P(A)) o 2 aparece o número de vezes de P e para calcular o número de subconjuntos de P(P(A)) o 2 aparece uma vez mais.

Ex4.: Se A = , então o número de elementos de P(P(P(A))) = 2 elevado a 220 = 2 elevado a 21 = 22 = 4 e o número de subconjuntos de P(P(P(A))) = 24 = 16.
10.OPERAÇÕES DE DOIS CONJUNTOS:

1. INTERSECÇÃO DE DOIS CONJUNTOS
a. DEFINIÇÃO:
A intersecção de dois conjuntos a e B é o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B.
A  B = {x|x  A  B}



Ex4.: A = { x|x é divisível por 3}
B = { x|x é divisível por 2}
Então A  B = {x|x é divisível por 3 e por 2}
A  B = {x|x é divisível por 6}
Observe que:
 A  B  A e A B  B
 Se A  B = , então A e B são disjuntos.

b. PROPRIEDADES:
(P1) Comutativa:
A  B = B  A
(P2) Associativa:
(A  B)  C = A  (B  C) = A  B  C
(P3) Intersecção com o conjunto vazio:
A   =   A= , A.
(P4) Idempotente:
A  A = A

2. UNIÃO (OU REUNIÃO) DE DOIS CONJUNTOS:
a.DEFINIÇÃO:
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
A  B = {x|x  A  x  B}



x5: A = { x  IN / x termina por 0 }
B = { x  IN / x termina por 5 }
Então A  B = {x  IN / x termina por 5 ou 0} ou
A  B = {x  IN / x é divisível por 5 }
Observe que: A  B  B e B  A  B.

b.PROPRIEDADES:
(P1) COMUTATIVA: A  B = B  A
(P2) ASSOCIATIVA: (A  B)  C = A  (B  C)
(P3) UNIÃO COM O CONJUNTO VAZIO:
A   =   A = A, A.
(P4) UNIÃO COM O CONJUNTO UNIVERSO:
A  U = U  A = U, A.
(P5) IDEMOTENTE: A  A = A, A.

3.DIFERENÇA DE DOIS CONJUNTOS

A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
A – B = A/B = A  B = {x|x  A  x  B}

Ex6: Seja A = {1, 2, a} e B = {1, 3, b, c} então A – B = {2, a} e B – a = {3, b, c}.
Observações:
Se A  B , então A – B = 
Se A  B =  então A – B = A e B – A = B



4.DIFERENÇA SIMÉTRICA DE DOIS CONJUNTOS:

A diferença simétrica de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a um e a somente a um dos dois conjuntos A ou B.
A  B = (A – B )  ( B – A) (I)
A  B = (A  B ) – ( A  B) (II)

Ex7.: Dados os conjuntos:
A = {1, 2, 3, 4} e B = 3, 4, 5, 6}, Calcular A  B.
Pela fórmula (I) temos: A – B = {1, 2}
B – A = {5, 6}
Então A  B = (A – B )  ( B – A) = {1, 2, 5, 6}
Pela fórmula (II) temos:
A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A  B = {3, 4}
Então:
A  B = A  B – A  B = {1, 2, 5, 6}

5.CONJUNTO COMPLEMENTAR:

Seja A um subconjunto de B. Chama-se complementar de A em relação a B ao conjunto formado pelos elementos de B que não pertencem ao conjunto A.
CBA = {x|x  B  x  A}

OBSERVAÇÃO:

Quando a complementação é uma relação ao conjunto universo U, no lugar da notação CBA, usa-se: AC ou A’ ou A.

1O Caso: Dois conjuntos disjuntos.
Representando-se por n(A) o número de elementos do conjunto A, por n(B) o número de elementos do conjunto B, e por n(A  B) o número de elementos de A  B, temos que:

n(A  B) = n(A) + n(B)



2O Caso: Dois conjuntos não disjuntos. Neste caso temos:
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)



Ex8.: Numa escola estão matriculados 530 alunos assim distribuídos: 280 estudam Matemática, 240 Física e 40 que não estudam nem matemática nem Física. Quantos alunos:
a)estudam Matemática ou Física?
b)estudam Matemática e Física?
c)Não estudam Física?









SOLUÇÃO
M – Conjunto dos alunos que estudam Matemática
F - Conjunto dos alunos que estudam Física
E - Conjunto dos alunos da escola.
Então:
a)n( M  F) = 530 – 40 = 490
b)n( M  F) = n(M) + n(F) – n(M  F)
490 = 280 + 240 – n(M  F)
n(M  F) = 520 – 490
n(M  F) = 30
c)n(E) – n(F) = 530 – 290

n(E) – n(F) = 290

3O Caso: Três conjuntos finitos:
Neste caso temos:
n( A B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) –
– n(A  C) – n(B  C) + n(A  B  C)

13. CONJUNTOS NUMÉRICOS

Em nosso estudo, utilizaremos os seguintes conjuntos numéricos:
|N = {0, 1, 2, 3, ...}: conjunto dos números naturais
IN* = |N - {0} = {1, 2, 3, ...}: conjunto dos naturais positivos
Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}:conjunto dos números inteiros
Z* = Z - {0} ={..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}:conjunto dos números inteiros não – nulos
Z+ = N = {0, 1, 2, 3, ...}: conjunto dos números inteiros não – negativos
Z_ = {0, -1, -2, -3, ...}: conjunto dos números inteiros não – positivos
Z*+ = N = {1, 2, 3, ...}: conjunto dos números inteiros positivos
Z*_ = N = {-1, -2, -3, ...}: conjunto dos números inteiros negativos
Q = { : conjunto dos números racionais
Q* = { conjunto dos números racionais não – nulos
Q+ = conjunto dos racionais não - negativos
Q*+ = conjunto dos racionais positivos
Q_ = conjunto dos racionais não - positivos
Q*_ = conjunto dos racionais negativos
IR = conjunto dos números reais
I = IR - Q = conjunto dos números irracionais
Este ultimo conjunto é o dos números que podem ser escritos na forma decimal com infinitas casas decimais e não são periódicos. Verifica-se que esses números não são racionais (não podem ser obtidos pela divisão de dois inteiros). Eles são denominados números irracionais.



IR* = IR - {0} = {x  IR | x  o}: conjunto dos números reais não – nulos
Os símbolos IR+, IR*+, IR_, IR*-, têm significados análogos.





IN Z Q



Q

IR  IR = Q  Q

14. INTERVALOS

Em grande parte dos modelos matemáticos empregados na Física. Economia, Biologia, Química, etc., é usado um tipo especial de subconjunto de |R, chamado intervalo:
O conjunto dos números reais entre a e b é chamado intervalo aberto.



Indicação: {x  |R | a <> a} = ]a, +[
Conjunto dos números reais maiores ou iguais a a
Indicação: {x  |R | x  a} = [a, +[

Conjunto dos números reais menores que a
Indicação: {x  |R | x < a =" {0," b =" {1," b =" {(0,1)," r =" {(0," a =" {0," b =" {" r =" {(a," r =" {(0," a =" {" b =" {" r =" {(1," a=" [-2," b ="[1," r ="{(x," y =" 2x}" a =" {-1," b =" {" r =" {" b =" 5}." r =" {(0," y =" R(x)" r =" {" a =" {1," b =" {0," 2 =" R(1)," 4 =" R(3)," 5 =" R(4)," a =" {{1}." a =" {x" x =" 4n," b =" {" x =" n," a =" {a," b =" {b," c =" {a," p =" (A" a =" {x" b =" {" c =" {" a =" B" b =" B" c =" B" a =" B" b =" B" b =" A," a =" B" b =" " m =" {1," n =" {1," a =" {x" b =" {x" d =" divisores" m =" Múltiplos" s =" D" n =" número" a =" {x" b =" {" c =" {x" x =" a" b =" {6," a =" {4," b =" {2," p =" {cidades" r =" {pessoas" t =" {pessoas" a =" B," b =" " b =" " b =" A" a =" {1," b =" {3," c =" {1," ir =" Q" in =" IR" a =" {,"> 3. Pode-se então concluir que:
a)x  – 1 ou x > 1 d) x > 3
b)x  2 ou x < a =" B," b =" A" b =" B" a =" " a =" B" a =" {x" b =" {" b =" {2," b =" {x" b =" {x" b =" {x" b =" {x" a =" ]" b =" ]0," c =" [–1,"> 1
36.(Mack-SP) Sejam os conjuntos:
A = { x  IR | 0  x  3};
B = { x  IR | x  3};
C= { x  IR | – 2  x  3}.
O conjunto (B – A) C é:
a) d) { x  IR | – 2  x  0}.
b){ x  IR | x <> – 2}.
37.(UFRN) Dados os conjuntos
A = { x  IR ; x > 2} e
B = { x  IR ; x < b =" {x" b =" IR" b =" {3}" b =" {x" b =" " b =" {(-1," a =" {-1," b =" {" r =" {(x," y =" 2}" r =" {(x," x =" 2y}" a =" {" b =" {y" a =" {1," b =" {-1," r =" {(x," y =" x2}" 1 =" {(1," 1 =" {(1," 1 =" {(1," 1 =" {(1," 1 =" {(1," b =" A" c =" A" b =" B" a =" {1}," b=" {0," c =" {1," d =" {0," a =" {x/x" b =" {x/x" c =" {x/x" a =" {0," a =" B="" a =" {0," b =" {2," c =" {x" a =" {x" a=" {1}," b =" {0," e =" {0,1," c =" " s =" {-" m =" {x" n =" {x2" b =" A" q =" 2" q ="4" p =" 4" p =" 2" p =" {x/{-1,1}" a =" {0," b =" {20," n =" {0," b =" 20" a =" N" b =" {0," b =" N" r =" {-2," s =" {-" t =" {-2,">

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

MATEMÁTICA - PROF. CARLOS ALBERTO

1.Identifique as sentenças matemáticas:
a ) Salvador é a capital do Estado da Bahia.
b ) Sete menos três é igual a seis.
c ) O Brasil é banhado pelo oceano Atlântico.
d ) O triplo de cinco é maior que o dobro de sete.
e ) Dois mais três é igual a cinco.
2.Escreva em linguagem matemática:
a ) Cinco mais sete é igual a doze.
b ) Vinte e oito dividido pôr sete, mais um, é igual a cinco.
c ) Três elevado ao quadrado, menos quatro, é menor que nove.
d ) Trinta menos dezoito é igual a seis vezes dois.
e ) Dois terços vezes três quartos é maior que um terço elevado ao cubo.
3.Expresse em linguagem corrente cada uma das sentenças:
a ) 7 + 3 = 10 c) 8.6 + = 53
b ) 15 : 5 - 2 > 0 d) ( 5 - 7 )2 + < 6
4.Diga quais as sentenças são verdadeiras e quais são falsas:
a) - 9 + 6 = - 3 b) 35 : 7 = -
c) > 12 d)
e)
f)
5.Identifique as sentenças matemáticas abertas e fechadas:
a)2 + 7 = 9 f)
b)5x = 10 g) –10 > -4
c)32 + 1 = 7 h)
d)16 : 2 = 8 i)
e)12 – 2x = 25 j) 2z + 1 = 15
6.Especifique as variáveis das sentenças:
a ) 5x < 3 d) 4y
b ) 7x - 8y = 15 e) 12m + 3n = 27
c ) x2 + z2 = 1 f) 3p - 5q + 2r = 0
7.Determine o coeficiente das variáveis das sentenças:
a) - 2x = 6 d)
b) e) z - y = 5
c) 7 - y = 2 f)
8.Verifique se as sentenças seguintes são verdadeiras ou falsas para os valores das variáveis indicados ao lado:
a) 3x - 2 = 4, para x = 2 .
b) , para
c) x - 1 < 3, para x = 1.
2 2
d) 4y > - 2, para y = 0
e) 2x - 3y = -3, para x = 1 e y = 1
2 3
f) 5x - 4y + 6z = 13,
para x = 0, y = - 1 e z = 2.
4
9.Complete com o valor numérico de cada sentença, substituindo a variável pelo valor indicado:
a ) 2x = , para x = 3 .
2
b ) 5x + 1 = , para x = 0
c ) y - 3 = , para y = 3
d ) 7 - 4x = , para x = - 2
e ) x - y = , para x = - 4 e y = 6
2 2
f ) 2x - z = , para x= 1 e z = -2
3 2
g ) 5x + 3y = , para x = 1 e y = -4
3 4
h ) 1 y - 6 z = , para y = - 2 e z = - 2
10 5 3
10.Determine o conjunto solução das sentenças seguintes, sendo U = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9:
a) x - 1 = 5 b) x = 3 = 8
c) x - 9 = 0 d) x + 2 = 9
e) 2x - 5 = 3 f) 3x - 1 = 8
g) h)
i) x2 = 1 j) 2x - 20 = 0
11.Sendo U = Z, determine o conjunto solução de cada uma das sentenças seguintes:
a) x - 1 = 0 b) x + 5 = 8 c) 2x = 4
d) 1 - 3x = 1 e) x - 4 = - 7 f) 4x = 0
g) 5x - 3 =4 h) x2 = 9 i) x2 = 1 = 2
j) 3x2 = - 1
12.Identifique as equações:
a) x - 8 = 1 b) 3x + 2 = 0
c) 8x < 2 d) 15 = 4x - 1
e) 3 + 11 = 14 f) 7x - 1 = 2x + 9
g) x2 + 16 > 19 h) 6y2 - y = 3
i) z2 - 2z + 1 = 0 j) 62 + 82 = 102
13.Sendo U = Q, verifique:
a) se 2 é raiz da equação 7 - x = 5;
b) se - 1 é raiz da equação 3x + 2 = 1;
2
c) se - 1 é raiz da equação 5x - 3 = 2;
d) se 3 é raiz da equação 4x - 1 = 3x + 2;
e) se 0 é raiz da equação;
f)se -3 é raiz da equação

14.Resolva as equações seguintes, sendo U = Q.
a ) 2x = - 4
b ) - 4x = 2
c ) 7x = - 7
d ) 2x = 1
2
e ) 3x = 9
f ) 7x = 0
g ) 8x = 4
h ) 6x = - 3
2
i ) 5x = 1
j ) 3x = - 12
l ) 9x = 3
m ) 1 x = 2
2
n ) - 2x = 1
5
o ) 4 x = 1
5
p ) - 3 x = - 2
5
q ) - x = 7
2
r ) 3 x = - 1
2 4
s ) - x = - 2
5 3
t ) 2x = - 1
2
u ) 1 x = - 1
2
v ) 4 x = 0
5
x ) - x = 3

15. Resolva as equações, sendo U = Q:
a ) 3x - 1 = 2 b ) 4 + 2x = - 6
c ) 7x - 2 = 5 d ) 2x = 4 = 7
e ) 4x + 3 = 11 f ) 6 - 3x = 0
g ) 8x + 1 = 3 h ) 6x - 5 = - 11
i ) 2x - 5 = 1 j ) 4x + 1 = - 7
l ) 5 - 9x = 2 m ) - 3x - 8 = - 2
n ) -2x + 1 = - 4 o ) -x +3 = 1
p ) 4x - 1 = - 2 q ) - 2x + 3 = -11
r ) - 3x + 6 = 0 s ) 2x - 15 = 0

16. Resolva as equações seguintes, sendo U = Q
a ) 6x + 1 = 3x – 5 b ) 3x - 8 = 7x - 4
c ) 10 - 2x = x + 1 d ) 5x - 7x + 2 = x - 1
e ) x + 1 + 2x = 5x + 11 f ) 10x - 9 = 5x - 6
g ) 4x - 2 = - 5x + 7 h ) x + 9 = 6 - 2x
i ) - 3x - 5 = 4x + 9 j ) 2x - 1 + 6x = - 7x + 4
l ) 8x + 3 = 5x - 2 - 2x m ) 12 - 4x = 3 + 7x + 9

17. Resolva as equações seguintes sendo, sendo U = Q.
a ) 5.( 3 - x ) = 4x + 18
b ) 2.( x - 3 ) - 4.( x - 2) = - 2
c ) 5.( 3 - x ) - 2. ( x - 4 ) = 15
d ) 15 + 3.( x + 2 ) = - 7x + 2.( x + 1 )
e ) 3.( x + 1 ) + 2. 2x - 3 ) - 5.( x - 1 ) + 5
f ) 3.( x + 2 ) - 1 = 2(x + 3 ) - 7
g ) 5.( 3x - 1 )- 2 = x + 2
h ) 3.( x - 2 ) - 5.( x + 1 ) = 9
i ) 3.( 2x - 1 ) + 2.( x + 3 ) = 0
j ) 3.( x - 2 ) - 5.( x - 1 ) = - 7
l ) 2.( x + 1 ) + 5.( x- 1 ) = 11
m) 2.( 2x + 3 ) + 5.( x + 1 ) = 8 - 3.( x - 1 )
18. Resolva as equações seguintes, sendo U = Q:
a ) x + x = 10
2 3
b ) x + 1 = x - 1
4 2
c ) x - 2 - x + 1 = 3
3 4 4
d ) x - 1 - x - 3 = 6
2 3
e ) x - 1 - x + 1 = 0
2 3
f ) x + 3 = x
6 3
g ) x - 2 + 2x = 5x
3 2
h ) x - 1 + 2x - 1 = x
5 3
i ) x + 3( x - 5 ) = x + 3
3 4 2
j ) x + 3 + 3x = 4x - 6 - x + 1
2 3
l ) 2x + 1 + 8x - 1 = 6x + 4 .
2 6 2
m ) x - x - 1 + 17 = x + x + 7 .
2 3 2 4
GABARITO-


1 ) b, d, e.
2 ) a ) 5 + 7 = 12 b ) 28 : 7 + 1 = 5
c ) 32 - 4 < 9 d ) 30 - 18 = 6.2
e) 2 . 3 >  1  3
3 4 3
3 ) a ) Sete mais três é igual a dez.
b ) Quinze dividido pôr cinco, menos dois, é maior que zero.
c ) Oito vezes seis, mais raiz quadrada de vinte e cinco, é igual a cinqüenta e três.
d ) A diferença e cinco menos sete, elevada ao quadrado, mais um meio é menor que seis.
4 ) a ) V b ) F c ) F d ) V e ) V f ) V
5 ) a ) Fechada b ) Aberta c ) Fechada
d ) Fechada e ) Aberta f ) Aberta
g ) Fechada h ) Fechada i ) Aberta j ) Aberta
6 ) a ) x b ) x, y c) x e z d ) y, z
e ) m, n f ) p, q, r
7 ) a ) - 2 b ) 3 c ) - 1 d ) 1 ;3 e ) 1; - 1
4 2
f ) 2; - 3 ; 5 .
4 6
8) a) V b) F c) V d ) V e) F f ) V
9) a) 3 b) 1 c) 0 d) 15 e) - 5 f) 1 g) - 4
3
h) 3
5
10 ) a ) S =  6  b ) S =  5  c) S =  9 
d ) S =  7 e ) S = 4  f ) S =  3 
g ) S = 2  h) S =  5 i ) S =  1 
j ) S = 
11 ) a ) S =  1  b ) S =  3  c) S =  2 
d ) S =  0 e ) S =  - 3 f ) S =  0 
g ) S =   h ) S =  - 3, + 3 
i) S =  - 1,+3  j) S = 
12 ) a, b, d, f, h, i,
13 ) a ) sim b) sim c) não d) sim e) não f ) sim
14 ) a) S =  - 2 b) S =  - 1  c ) S =  - 1 
2
d ) S =  1  e ) S =  3  f ) S =  0 
4
g ) S =  1  h ) S =  - 1 
2 4
i ) S =  1  j ) S =  - 4 
5
l ) S =  1  m ) S =  4 
3
n ) S =  - 1  o ) S =  5 
10 4
p ) S =  10  q ) S =  - 14 
3
r ) S =  - 1  s) S =  10 
6 3
t ) S =  - 1  u ) S =  - 2 
4
v ) S =  0  x ) S =  - 3

15 ) a ) S =  1  b ) S =  - 5 
c ) S =  1  d ) S =  3 
2
e ) S =  2  f ) S =  2 
g ) S =  1  h ) S =  - 1 
4
i ) S =  3  j ) S =  3 
l ) S =  1  m ) S =  - 2 
3
n ) S =  5  o ) S =  2 
2
p ) S =  - 1  q ) S =  7 
4
r ) S =  2  s ) S =  15 
2
16 ) a ) S =  - 2  b ) S =  - 1 c ) S =  1
d ) S =  3  e ) S =  - 5 f ) S =  3 
5 2
g ) S =  1  h ) S =  - 1 i ) S =  - 2
4
j ) S =  1  l ) S =  2  m ) S =  0 
3
17 ) a ) S =  - 1  b ) S =  2  c ) S =  8 
3 7
d ) S =  - 19  e ) S =  3  f ) S =  - 6 
8 2
g ) S =  9  h ) S =  - 10  i ) S =  - 3 
14 8
j ) S =  3  l ) S =  2  m ) S =  0 

18 ) a ) S = 12  b )S = 8  c ) S = 20
d ) S =  33  e ) S =  5 f )S =  18 
g ) S =  - 4  h )S =  - 4  i ) S =  9 
j ) S =  3  l ) S = - 5  m )S =  0 
2