EQUAÇÕES DO 2º GRAU - AULA 05

Pelo que estudamos nas aulas anteriores ppecebemos que existe uma estreita relação entre os coeficientes a, b e c e as raízes x₁ e x₂ de uma equação do 2º grau.
Devo lembrar que para efeito prático e concreto das relações a serem explicitdas aqui a equação do 2º grau deve está na forma padronizada:

Vamos convencionar ainda que para uma equação do 2º grau com raízes x₁ e x₂ designamos de S a soma, D a diferença e P o produto dessas raízes de modo que:
S = x₁ + x₂, D = x₁ - x₂ e P = x₁.x₂ A viabilização do cálculo da soma e produto das raízes de uma equção do 2º grau é o processo conhecido como relações de Albert Girard(1590-1633)

Lembrando que neste processo chamamos de S a soma das raízes (S = x₁ + x₂) que é calculado pela fórmula:
⇒

e de P o seu produto (P = x₁ . x₂) que tem por fórmula:

⇒

Convém chamar sua atenção para a particularidade de, no caso da equação de 2º grau está na forma padronizada, o coeficiente do termo quadrático ser a unidade,ou seja, a = 1. Especificamente neste caso os denominadores das fórmulas da soma e do produto das raízes da equação do segundo grau seriam a unidade e não apareceriam na fórmula reduzindo as mesmas para: S = - b e P = c. Pelo exposto no parágrafo anterior concluímos que, no caso da equação do 2º grau com o coeficiente do termo quadrático com valor 1(um), poderá ser representada por:

Esta é a forma da Soma e Produtos das raízes

CALCULANDO A SOMA DOS INVERSOS DAS RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU PADRONIZADA

Ressaltamos que, por esta última expressão, a soma dos inversos de uma equação do 2º grau, independe do valor do coeficiente a

EXERCÍCIO RESOLVIDO 1

(PUC-CAMP) Se v e w são as raízes da equação x² + ax + b = 0, onde a e b são coeficientes reais, então v² + w² é igual a:
a) a² - 2b.
b) a² + 2b.
c) a² - 2b².
d) a² + 2b².
e) a² - b².

Solução

De início vamos observar que a equação está padronizada e que o coeficiente do termo quadrático é a unidade o que nos remete à fórmula:
x² - Sx + P = 0
Soma das raízes ⇒ S = v + w = - a (I)
Produto das raízes ⇒ P = v . w = b (II)
Elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade da expressão I temos:
(v + w)² = (- a)²
Desenvolvendo o quadrado da soma teremos:
v² +2vw + w² = a² (III)
Pela expressão II e substituindo na expressão III teremos:
v² +2b + w² = a²
Transferindo o termo 2b para o 2º membro da igualdade encontramos:
v² + w² = a² - 2b

Resposta:
v² + w² = a² - 2b, item a.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 2

(UFC-FORT-Adaptada) Sejam a e b as raízes da equação x² - 7x + m = 3. Se (1/a) + (1/b) = 1, então o valor de m é:
a) 4.
b) 10.
c) - 4.
d) - 10.
e) o.

Solução

De início observamos que a equação não está padronizada. Para padronizar é tão somente suficiente transferir o 3 do 2º membro da equação para o primeiro. Que fica, então:
x² - 7x + m - 3 = 0. Logo:
a = 1, b = - 7 e c = m - 3.
Em sendo o coeficiente do termo quadrático a unidade nos remete à fórmula:
x² - Sx + P = 0
de onde concluímos: Soma das raízes ⇒ S = a + b = - (- 7) = 7 (I)
Produto das raízes ⇒ P = a . b = m - 3 (II)
Na expressão da incógnita pedida ercebemos a presença da soma dos inversos das raízes que tem por fórmula:

Substituindo os termos e efetuando devidamente as contas encontramos:

Ou seja:
(m - 3).1 = 7 ⇒ m - 3 = 7 ⇒
⇒ m = 7 + 3 ⇒ m = 10

Resposta:
m = 10, item b.