LIMITE E CONTINUIDADE
1. INTRODUÇÃO
A noção de limite é uma das ideias fundamentais do cálculo uma vez que o desenvolvimento teórico de grande parte do Cálculo foi feito utilizando a noção de limite. Por exemplo, as definições de derivada e de integral definida, independentemente de seu significado geométrico ou físico, são estabelecidas usando limites.
Inicialmente desenvolveremos a ideia intuitiva de limite, estudando o comportamento de uma função y = f(x) nas proximidades de um ponto que não pertence, necessariamente, ao seu domínio.
Para iniciar, vamos JOGAR COM A NOSSA CALCULADORA
Por exemplo, seja a função f(x) que segue:
Facilmente se chega à conclusão que o domínio da referida função é definida pelo conjunto: Dom(f) = R − {1}.
O numerador da expressão (I) pode ser fatorada resultando na expressão (II):
Cancelando os termos semelhantes chegamos na expressão semelhante à função dada em (III)
É claro que temos que ter em mente que, apesar da expressão (III) ela não nos permite ver que Dom(f) = R − {1} e que, portanto, o par ordenado (1, 3) não pertence ao gráfico de f(x).
Estudaremos a função nos valores de x que ficam próximos de 1, mas sem atingir 1. Para todo x ∈ Dom(f) temos que f(x) = 2x + 1.
Primeiro vamos construir uma tabela (desenhe-a em seu caderno) de valores de x aproximando-se de 1, pela esquerda (x < 1) e você completa a tabela com os correspondentes valores de f(x) com o auxílio de sua calculadora ou mesmo usando a calculadora de seu celular e os resultados publique nos comentários que seguem a esta postagem:
Agora vamos construir outra tabela (desenhe-a em seu caderno) e desta vez com os valores de x aproximando-se de 1, pela direita (x > 1) e você deve completar a tabela com os correspondentes valores de f(x) mais uma vez com o auxílio de sua calculadora ou mesmo usando a calculadora de seu celular e os resultados publique também nos comentários que seguem a esta postagem:
😄
Observando as tabelas, desenhadas e devidamente preenchidas, em seu caderno, o que podemos verificar?
PS.: Só após ver seu caderno e sugerir uma resposta que aconselhamos que continue o estudo.
O que você deve ter observado é que: à medida que x vai se aproximando de 1, os valores de f(x) vão se aproximando de 3.
A noção de proximidade pode ficar mais precisa utilizando valor absoluto. De fato, a distância entre dois pontos quaisquer x, y ∈ R é |y − x|. Assim a nossa conclusão tirada pela observação das tabela 01 e 02 (da função em estudo), pode ser expressa por: se |x − 1| aproxima-se de zero, então |f(x) − 3| também se aproxima de zero; em outras palavras: para que |f(x) − 3| seja pequeno é necessário que |x − 1| também seja pequeno. O número 3 é chamado limite de f(x) quando x está próximo de 1. No exemplo, temos |f(x) − 3| = 2|x − 1|; logo, a distância de f(x) a 3 é igual a duas vezes a distância de x a 1.
É claro que quando x aproxima-se de 1, |x − 1| aproxima-se de zero e consequentemente |f(x) − 3| também aproxima-se de zero. Mais ainda, poderemos tornar f(x) tão perto de 3 quanto desejarmos, bastando para tal considerar x suficientemente próximo de 1.
Por exemplo, se desejarmos que |f(x) − 3| seja igual a 0,2, basta considerar |x − 1| = 0,1; agora, se desejarmos que |f(x) − 3| < 0,02, basta considerar |x − 1| < 0,01. De um modo geral, considerando qualquer número real positivo ε (letra grega epsilon), tão pequeno quanto se deseje e definindo o número real δ (letra grega delta), δ = ε/2 , teremos que a distância de f(x) a 3 é menor que ε, desde que a distância de x a 1 seja menor que δ. Então para todo número real positivo ε existe outro número real positivo δ que depende de ε, tal que se 0 < |x − 1| < δ, então |f(x) − 3| = 2 |x − 1| < 2δ = ε. Note que todos os intervalos abertos que contém 1 interseptam R − {1} de forma não vazia.
Gráfico 01
2. DEFINIÇÃO
Sejam f : A → R uma função e b ∈ R tais que para todo intervalo aberto I, contendo b, tem-se I ∩ (A − {b}) ≠∅. O número real L é o limite de f(x) quando x aproxima-se de b quando para todo número ε > 0, existe δ > 0 (δ dependendo de ε), tal que, se x ∈ A e 0 < |x − b| < δ então |f(x) − L| < ε.A notação é:
Equação IV
No exemplo estudado concluímos que:
Equação VA definição é equivalente a dizer:
Para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que se x ∈ (b − δ, b + δ) ∩ (A − {b}), então, f)x) ∈ (L - ε, L + ε).
Gráfico 02
Vamos a outro exemplo:😄
Exemplo 1:
Determine o limite que segue:
Solução
Você já deve ter concluído que o domínio desta função é o conjunto: Dom(f) = R.
Como no exemplo anterior, inicialmente estudamos o comportamento da função y = f(x)= 3x - 5 nas proximidades do ponto de x = 2 que não é obrigado a pertencer ao seu domínio, mas que nesse caso pertence.
É claro que temos que ter em mente que a função nos permite ver que Dom(f) = R logo é um domínio sem restrições, facilitando-nos muito, e que, portanto, o par ordenado (2, 1) pertence ao gráfico de f(x).
Vamos JOGAR COM A NOSSA CALCULADORA mais uma vez
Primeiro vamos construir uma tabela (desenhe-a em seu caderno) de valores de x aproximando-se de 2, pela esquerda (x < 2) e você completa a tabela com os correspondentes valores de f(x) com o auxílio de sua calculadora ou mesmo usando a calculadora de seu celular e os resultados publique nos comentários que seguem a esta postagem:
Agora vamos construir outra tabela (desenhe-a em seu caderno) e desta vez com os valores de x aproximando-se de 2, pela direita (x > 1) e você deve completar a tabela com os correspondentes valores de f(x) mais uma vez com o auxílio de sua calculadora ou mesmo usando a calculadora de seu celular e os resultados publique também nos comentários que seguem a esta postagem:
Observando as novas tabelas (tabelas 03 e 04), desenhadas e devidamente preenchidas, em seu caderno, o que você pode observarar?
PS.: Só após ver seu caderno e sugerir uma resposta que aconselhamos que continue o estudo.
Pela análise das tabelas concluímos que a medida que x se aproxima de 2, o resultado da expressão 3x - 5 tende a 1. A notação é:
BONUS: O limite de uma função f(x) quando x tende a um número real b só existe se a aproximação do valor de x para b permitir um valor igual para f(x) tanto na aproximação pela esqueda como pela direita. Se o resultado para f(x) na aproximação de x pela direita divergir do valor de f(x) na aproximação de x pela esquerda diz-se que o limite de f(x) quando x tente para b é inexistente.
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sexta-feira, 11 de março de 2022
NO LIMITE - AULA 01 -
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