TEOREMAS DE LIMITE
1. INTRODUÇÃO
A princípio vamos anunciar/enumerar, sem as respectivas demonstrações, alguns teoremas de limite tendo em vista serem habilidades e conhecimentos fundamentais no cálculo a serem desenvolvidos no argumento teórico de grande parte do estudo do cálculo de limite de várias funções.
O nosso procedimento, o qual inicialmente desenvolveremos, tem por objetivo viabilizar o cálculo de limite para funções que são constituídas por outras funções as quais lhe são aglutinadas a partir do conhecimento de limite das funções mais simples individualmente.
Estudando e aplicando esses teoremas, os quais serão demonstrados ao longo do desenvolvimento desse nosso projeto, lhe permitirá um comportamento de confiança e racionalidade nas análises de uma função.
Para iniciar, vamos supor a existência dos limites de e de
Por exemplo, seja a função f(x) = 5 que segue:
Outro exemplo, seja a função f(x) = π que segue:
domingo, 20 de março de 2022
NO LIMITE - AULA 03 -
👉Teorema II
O limite de uma "função identidade" f(x) = x, quando x tende a c, é igual a c.
Por exemplo, seja a função f(x) = x que segue:
👉Teorema III
O limite da soma de duas funções é a soma dos limites, caso esses limites existam. Consideremos as funções f(x) e g(x) e consideremos ainda a existência de seus respectivos limites:
Resposta:
⇒
O limite da função h(x) = x + π quando x tende para √2 é √2 + π.
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sábado, 19 de março de 2022
EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE LIMITE - 02 -
Diante do que foi estudado até aqui concluímos que definido um ponto "c" percente a um conjunto "C" e que observado um intervalo "I" com centro estabelecido em "c", contido em "C". Considera-se ainda uma função "f" definida nesse intervalo "I" de ponto central "c". Nessas condições afirmamos que o número real "L" é o limite de "f(x)" quando "x" tende a "c". se os limites laterais (a esquerda e a direita) existem e são iguais a "L" e tem representação:
Com esses conhecimentos tente resolver as questões propostas que seguem.
Caso tenha alguma dificuldade na resolução tente JOGAR COM A NOSSA CALCULADORA para construir as tabelas (para x < c e para x > c) e montar o gráfico da função com os pares ordenados das tabelas.
para cada f(x) abaixo discriminadas com seus respectivos valores de c prove se existe ou não o seu limite quando x tende a c.
👉01.
para c = 2
👉02.
para c = 0
👉03.
para c = 0
👉04.
para c = 1
👉05.
para c = 2
👉06.
para c = 0
👉07.
para c = 1
👉08.
para c = - 3
👉09.
para c = 2
👉10.
para c = 0
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quarta-feira, 16 de março de 2022
NO LIMITE - AULA 02 -
LIMITE E CONTINUIDADE - CONTINUAÇÃO
1. INTRODUÇÃO
Na aula anterior você estudou que a noção de limite é uma das ideias fundamentais do cálculo. Você também estudou a definição de limites. Ainda na aula passada foi estudado a ideia ituitiva de limite, estudando o comportamento de uma função y = f(x) nas proximidades de um ponto que não pertence, necessariamente, ao seu domínio.
Nesta aula vamos verificar se determinado limite dado é verdadeiro ou não através de um exemplo.
Exemplo 1. Verifique se:
😄
Pela definição de limite temos que, dado ε > 0, devemos obter um δ > 0, tal que se 0 < |x − 3| < δ então |x 2 − 9| < ε.
Mas |x 2 − 9| = |x − 3|.|x + 3|
E desejamos que este produto fique menor que ε para x suficientemente próximo de 3. Intuitivamente, se x está próximo de 3, |x + 3| estará próximo de 6 e |x − 3| ficará próximo de zero.
Logo |x − 3|.|x + 3| ficará próximo de zero;
Estamos, pois em condições de tornar |x 2 − 9| < ε desde que x fique suficientemente próximo de 3.
A primeira coisa a fazer é limitar o fator |x + 3|.
Há várias maneiras de fazer isto.
Uma delas é:
Vamos supor que x ∈ (2, 4), ou seja,
2 < x < 4 (podemos somar – 3 em cada termo da expressão), e teremos:
– 1 < x – 3 < 1 o que equivale a:
|x − 3| < 1; logo,
|x + 3| = |x - 3 + 6| e
|x - 3 + 6| ≤ |x - 3| + 6 < 7 e
|x − 3|.|x + 3| < 7|x − 3|.
Portanto, dado ε > 0, considerando δ o menor entre os números 1 e ε/7, teremos que, se 0 < |x − 3| < δ, então |x 2 − 9| < ε.
Para premiar nossa linha de pensamento, vamos JOGAR COM A NOSSA CALCULADORA
Lembrando que, no exemplo, a função é f(x) = x2 que que tem como Dom(f) o conjunto IR Agora vamos construir uma tabela (desenhe-a em seu caderno) de valores de x aproximando-se de 3, pela esquerda (x < 3) e você completa a tabela com os correspondentes valores de f(x) com o auxílio de sua calculadora ou mesmo usando a calculadora de seu celular e os resultados publique nos comentários que seguem a esta postagem:
Observando as tabelas, desenhadas e devidamente preenchidas, em seu caderno, o que podemos verificar?
PS.: Só após ver seu caderno e sugerir uma resposta que aconselhamos que continue o estudo.
O que você deve ter observado é que: à medida que x vai se aproximando de 3, os valores de f(x) vão se aproximando de 9.
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domingo, 13 de março de 2022
EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE LIMITE - 01 -
Para cada uma das funções que seguem determine se existepara cada f(x) abaixo discriminadas com seus respectivos valores de b.
01. f(x) = |x| para b = 0
02. f(x) = x2 para b = 2
03. f(x) = 2x/x para b = 0
04. f(x) = 1/x para b = 0
05. f(x) = x + x/|x| para b = 0
06. f(x) = (x - 1)2 para b = 1
07. f(x) = 1/(x - 1)2 para b = 1
08. f(x) = (x2 - 1)/(x - 1) para b = 1
09. f(x) = x3 para b = 0
10. f(x) = x-3 para b = 2
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sexta-feira, 11 de março de 2022
NO LIMITE - AULA 01 -
LIMITE E CONTINUIDADE
1. INTRODUÇÃO
A noção de limite é uma das ideias fundamentais do cálculo uma vez que o desenvolvimento teórico de grande parte do Cálculo foi feito utilizando a noção de limite. Por exemplo, as definições de derivada e de integral definida, independentemente de seu significado geométrico ou físico, são estabelecidas usando limites.
Inicialmente desenvolveremos a ideia intuitiva de limite, estudando o comportamento de uma função y = f(x) nas proximidades de um ponto que não pertence, necessariamente, ao seu domínio.
Para iniciar, vamos JOGAR COM A NOSSA CALCULADORA
Por exemplo, seja a função f(x) que segue:
Facilmente se chega à conclusão que o domínio da referida função é definida pelo conjunto: Dom(f) = R − {1}.
O numerador da expressão (I) pode ser fatorada resultando na expressão (II):
Cancelando os termos semelhantes chegamos na expressão semelhante à função dada em (III)
É claro que temos que ter em mente que, apesar da expressão (III) ela não nos permite ver que Dom(f) = R − {1} e que, portanto, o par ordenado (1, 3) não pertence ao gráfico de f(x).
Estudaremos a função nos valores de x que ficam próximos de 1, mas sem atingir 1. Para todo x ∈ Dom(f) temos que f(x) = 2x + 1.
Primeiro vamos construir uma tabela (desenhe-a em seu caderno) de valores de x aproximando-se de 1, pela esquerda (x < 1) e você completa a tabela com os correspondentes valores de f(x) com o auxílio de sua calculadora ou mesmo usando a calculadora de seu celular e os resultados publique nos comentários que seguem a esta postagem:
Agora vamos construir outra tabela (desenhe-a em seu caderno) e desta vez com os valores de x aproximando-se de 1, pela direita (x > 1) e você deve completar a tabela com os correspondentes valores de f(x) mais uma vez com o auxílio de sua calculadora ou mesmo usando a calculadora de seu celular e os resultados publique também nos comentários que seguem a esta postagem:
😄
Observando as tabelas, desenhadas e devidamente preenchidas, em seu caderno, o que podemos verificar?
PS.: Só após ver seu caderno e sugerir uma resposta que aconselhamos que continue o estudo.
O que você deve ter observado é que: à medida que x vai se aproximando de 1, os valores de f(x) vão se aproximando de 3.
A noção de proximidade pode ficar mais precisa utilizando valor absoluto. De fato, a distância entre dois pontos quaisquer x, y ∈ R é |y − x|. Assim a nossa conclusão tirada pela observação das tabela 01 e 02 (da função em estudo), pode ser expressa por: se |x − 1| aproxima-se de zero, então |f(x) − 3| também se aproxima de zero; em outras palavras: para que |f(x) − 3| seja pequeno é necessário que |x − 1| também seja pequeno. O número 3 é chamado limite de f(x) quando x está próximo de 1. No exemplo, temos |f(x) − 3| = 2|x − 1|; logo, a distância de f(x) a 3 é igual a duas vezes a distância de x a 1.
É claro que quando x aproxima-se de 1, |x − 1| aproxima-se de zero e consequentemente |f(x) − 3| também aproxima-se de zero. Mais ainda, poderemos tornar f(x) tão perto de 3 quanto desejarmos, bastando para tal considerar x suficientemente próximo de 1.
Por exemplo, se desejarmos que |f(x) − 3| seja igual a 0,2, basta considerar |x − 1| = 0,1; agora, se desejarmos que |f(x) − 3| < 0,02, basta considerar |x − 1| < 0,01. De um modo geral, considerando qualquer número real positivo ε (letra grega epsilon), tão pequeno quanto se deseje e definindo o número real δ (letra grega delta), δ = ε/2 , teremos que a distância de f(x) a 3 é menor que ε, desde que a distância de x a 1 seja menor que δ. Então para todo número real positivo ε existe outro número real positivo δ que depende de ε, tal que se 0 < |x − 1| < δ, então |f(x) − 3| = 2 |x − 1| < 2δ = ε. Note que todos os intervalos abertos que contém 1 interseptam R − {1} de forma não vazia.
Gráfico 01
2. DEFINIÇÃO
Sejam f : A → R uma função e b ∈ R tais que para todo intervalo aberto I, contendo b, tem-se I ∩ (A − {b}) ≠∅. O número real L é o limite de f(x) quando x aproxima-se de b quando para todo número ε > 0, existe δ > 0 (δ dependendo de ε), tal que, se x ∈ A e 0 < |x − b| < δ então |f(x) − L| < ε.A notação é:
Equação IV
No exemplo estudado concluímos que:
Equação VA definição é equivalente a dizer:
Para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que se x ∈ (b − δ, b + δ) ∩ (A − {b}), então, f)x) ∈ (L - ε, L + ε).
Gráfico 02
Vamos a outro exemplo:😄
Exemplo 1:
Determine o limite que segue:
Solução
Você já deve ter concluído que o domínio desta função é o conjunto: Dom(f) = R.
Como no exemplo anterior, inicialmente estudamos o comportamento da função y = f(x)= 3x - 5 nas proximidades do ponto de x = 2 que não é obrigado a pertencer ao seu domínio, mas que nesse caso pertence.
É claro que temos que ter em mente que a função nos permite ver que Dom(f) = R logo é um domínio sem restrições, facilitando-nos muito, e que, portanto, o par ordenado (2, 1) pertence ao gráfico de f(x).
Vamos JOGAR COM A NOSSA CALCULADORA mais uma vez
Primeiro vamos construir uma tabela (desenhe-a em seu caderno) de valores de x aproximando-se de 2, pela esquerda (x < 2) e você completa a tabela com os correspondentes valores de f(x) com o auxílio de sua calculadora ou mesmo usando a calculadora de seu celular e os resultados publique nos comentários que seguem a esta postagem:
Agora vamos construir outra tabela (desenhe-a em seu caderno) e desta vez com os valores de x aproximando-se de 2, pela direita (x > 1) e você deve completar a tabela com os correspondentes valores de f(x) mais uma vez com o auxílio de sua calculadora ou mesmo usando a calculadora de seu celular e os resultados publique também nos comentários que seguem a esta postagem:
Observando as novas tabelas (tabelas 03 e 04), desenhadas e devidamente preenchidas, em seu caderno, o que você pode observarar?
PS.: Só após ver seu caderno e sugerir uma resposta que aconselhamos que continue o estudo.
Pela análise das tabelas concluímos que a medida que x se aproxima de 2, o resultado da expressão 3x - 5 tende a 1. A notação é:
BONUS: O limite de uma função f(x) quando x tende a um número real b só existe se a aproximação do valor de x para b permitir um valor igual para f(x) tanto na aproximação pela esqueda como pela direita. Se o resultado para f(x) na aproximação de x pela direita divergir do valor de f(x) na aproximação de x pela esquerda diz-se que o limite de f(x) quando x tente para b é inexistente.
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domingo, 6 de março de 2022
GABARITO dos exercícios propostos sobre equações do 2º grau completas 05
GABARITO dos exercícios propostos sobre equações do 2º grau completas 0
01) V = { }
02) V = {1/2, 1/4 }
03) V = {0, 3/2 }
04) V = {5 - √17, 5 + √17}
05) V = { 1/15, - 11/15}
06) V = { 0,2, 0,4}
07) V = { - 1, 5}
08) V = { 5,- 1/2}
09) V = { - 8/3,3}
10) V = { - 2,1}
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sexta-feira, 4 de março de 2022
EQUAÇÕES DO 2º GRAU - AULA 05
Pelo que estudamos nas aulas anteriores ppecebemos que existe uma estreita relação entre os coeficientes a, b e c e as raízes x1 e x2 de uma equação do 2º grau.
Devo lembrar que para efeito prático e concreto das relações a serem explicitdas aqui a equação do 2º grau deve está na forma padronizada:
Vamos convencionar ainda que para uma equação do 2º grau com raízes x1 e x2 designamos de S a soma, D a diferença e P o produto dessas raízes de modo que:
S = x1 + x2, D = x1 - x2 e P = x1.x2 A viabilização do cálculo da soma e produto das raízes de uma equção do 2º grau é o processo conhecido como relações de Albert Girard(1590-1633)
Lembrando que neste processo chamamos de S a soma das raízes (S = x1 + x2) que é calculado pela fórmula:
⇒
e de P o seu produto (P = x1 . x2) que tem por fórmula:
⇒
Convém chamar sua atenção para a particularidade de, no caso da equação de 2º grau está na forma padronizada, o coeficiente do termo quadrático ser a unidade,ou seja, a = 1. Especificamente neste caso os denominadores das fórmulas da soma e do produto das raízes da equação do segundo grau seriam a unidade e não apareceriam na fórmula reduzindo as mesmas para: S = - b e P = c. Pelo exposto no parágrafo anterior concluímos que, no caso da equação do 2º grau com o coeficiente do termo quadrático com valor 1(um), poderá ser representada por:
Esta é a forma da Soma e Produtos das raízes
CALCULANDO A SOMA DOS INVERSOS DAS RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU PADRONIZADA
Ressaltamos que, por esta última expressão, a soma dos inversos de uma equação do 2º grau, independe do valor do coeficiente a
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1
(PUC-CAMP) Se v e w são as raízes da equação x2 + ax + b = 0, onde a e b são coeficientes reais, então v2 + w2 é igual a:
a) a2 - 2b.
b) a2 + 2b.
c) a2 - 2b2.
d) a2 + 2b2.
e) a2 - b2.
Solução
De início vamos observar que a equação está padronizada e que o coeficiente do termo quadrático é a unidade o que nos remete à fórmula:
x2 - Sx + P = 0
Soma das raízes ⇒ S = v + w = - a (I)
Produto das raízes ⇒ P = v . w = b (II)
Elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade da expressão I temos:
(v + w)2 = (- a)2
Desenvolvendo o quadrado da soma teremos:
v2 +2vw + w2 = a2 (III)
Pela expressão II e substituindo na expressão III teremos:
v2 +2b + w2 = a2
Transferindo o termo 2b para o 2º membro da igualdade encontramos:
v2 + w2 = a2 - 2b
Resposta:
v2 + w2 = a2 - 2b, item a.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2
(UFC-FORT-Adaptada) Sejam a e b as raízes da equação x2 - 7x + m = 3. Se (1/a) + (1/b) = 1, então o valor de m é:
a) 4.
b) 10.
c) - 4.
d) - 10.
e) o.
Solução
De início observamos que a equação não está padronizada. Para padronizar é tão somente suficiente transferir o 3 do 2º membro da equação para o primeiro. Que fica, então:
x2 - 7x + m - 3 = 0. Logo:
a = 1, b = - 7 e c = m - 3.
Em sendo o coeficiente do termo quadrático a unidade nos remete à fórmula:
x2 - Sx + P = 0
de onde concluímos: Soma das raízes ⇒ S = a + b = - (- 7) = 7 (I)
Produto das raízes ⇒ P = a . b = m - 3 (II)
Na expressão da incógnita pedida ercebemos a presença da soma dos inversos das raízes que tem por fórmula:
Substituindo os termos e efetuando devidamente as contas encontramos:
Ou seja:
(m - 3).1 = 7 ⇒ m - 3 = 7 ⇒
⇒ m = 7 + 3 ⇒ m = 10
Resposta:
m = 10, item b.
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